Cálculo Exemplos

$f (x) = 7 x^{6} - 12 x^{5}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x^{6} - 12 x^{5}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{5}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{5})$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x^{6}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{6}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f' (x) = 7 \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{5})$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$f' (x) = 7 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{5})$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $6$ por $7$ .

$f' (x) = 42 x^{5} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{5})$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x^{5}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 42 x^{5} - 12 \frac{d}{d x} x^{5}$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$f' (x) = 42 x^{5} - 12 (5 x^{4})$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $5$ por $- 12$ .

$f' (x) = 42 x^{5} - 60 x^{4}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $42 x^{5} - 60 x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{4}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (42 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{4})$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [42 x^{5}]$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Como $42$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $42 x^{5}$ em relação a $x$ é $42 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 42 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{4})$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$f'' (x) = 42 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{4})$

Etapa 1.1.2.2.3

Multiplique $5$ por $42$ .

$f'' (x) = 210 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 60 x^{4})$

Etapa 1.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 60 x^{4}]$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Como $- 60$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 60 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 60 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 210 x^{4} - 60 \frac{d}{d x} x^{4}$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = 210 x^{4} - 60 (4 x^{3})$

Etapa 1.1.2.3.3

Multiplique $4$ por $- 60$ .

$f'' (x) = 210 x^{4} - 240 x^{3}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $210 x^{4} - 240 x^{3}$ .

$210 x^{4} - 240 x^{3}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $210 x^{4} - 240 x^{3} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$210 x^{4} - 240 x^{3} = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $30 x^{3}$ de $210 x^{4} - 240 x^{3}$ .

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Etapa 1.2.2.1

Fatore $30 x^{3}$ de $210 x^{4}$ .

$30 x^{3} (7 x) - 240 x^{3} = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $30 x^{3}$ de $- 240 x^{3}$ .

$30 x^{3} (7 x) + 30 x^{3} (- 8) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $30 x^{3}$ de $30 x^{3} (7 x) + 30 x^{3} (- 8)$ .

$30 x^{3} (7 x - 8) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

$7 x - 8 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.4.1

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

Etapa 1.2.4.2

Resolva $x^{3} = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 1.2.4.2.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

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Etapa 1.2.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 1.2.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $7 x - 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina $7 x - 8$ como igual a $0$ .

$7 x - 8 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva $7 x - 8 = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.5.2.1

Some $8$ aos dois lados da equação.

$7 x = 8$

Etapa 1.2.5.2.2

Divida cada termo em $7 x = 8$ por $7$ e simplifique.

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Etapa 1.2.5.2.2.1

Divida cada termo em $7 x = 8$ por $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{8}{7}$

Etapa 1.2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 1.2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 x}{7} = \frac{8}{7}$

Etapa 1.2.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{8}{7}$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $30 x^{3} (7 x - 8) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{8}{7}$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{8}{7}) \cup (\frac{8}{7}, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f'' (- 2) = 210 {(- 2)}^{4} - 240 {(- 2)}^{3}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$f'' (- 2) = 210 \cdot 16 - 240 {(- 2)}^{3}$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $210$ por $16$ .

$f'' (- 2) = 3360 - 240 {(- 2)}^{3}$

Etapa 4.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f'' (- 2) = 3360 - 240 \cdot - 8$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $- 240$ por $- 8$ .

$f'' (- 2) = 3360 + 1920$

Etapa 4.2.2

Some $3360$ e $1920$ .

$f'' (- 2) = 5280$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $5280$ .

$5280$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, 0)$ porque $f'' (- 2)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(0, \frac{8}{7})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f'' (1) = 210 {(1)}^{4} - 240 {(1)}^{3}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f'' (1) = 210 \cdot 1 - 240 {(1)}^{3}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $210$ por $1$ .

$f'' (1) = 210 - 240 {(1)}^{3}$

Etapa 5.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f'' (1) = 210 - 240 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $- 240$ por $1$ .

$f'' (1) = 210 - 240$

Etapa 5.2.2

Subtraia $240$ de $210$ .

$f'' (1) = - 30$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 30$ .

$- 30$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(0, \frac{8}{7})$ porque $f'' (1)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(0, \frac{8}{7})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(\frac{8}{7}, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = 210 {(4)}^{4} - 240 {(4)}^{3}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$f'' (4) = 210 \cdot 256 - 240 {(4)}^{3}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $210$ por $256$ .

$f'' (4) = 53760 - 240 {(4)}^{3}$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$f'' (4) = 53760 - 240 \cdot 64$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- 240$ por $64$ .

$f'' (4) = 53760 - 15360$

Etapa 6.2.2

Subtraia $15360$ de $53760$ .

$f'' (4) = 38400$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $38400$ .

$38400$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(\frac{8}{7}, \infty)$ porque $f'' (4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(\frac{8}{7}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(0, \frac{8}{7})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(\frac{8}{7}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8