Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (x^{2} - 8 x + 41)$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} - 8 x + 41$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 8 x + 41$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

Etapa 1.1.1.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

Etapa 1.1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 8 x + 41$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 8 x + 41$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))$

Etapa 1.1.1.2.3

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (41))$

Etapa 1.1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (41))$

Etapa 1.1.1.2.5

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 + \frac{d}{d x} (41))$

Etapa 1.1.1.2.6

Como $41$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $41$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 + 0)$

Etapa 1.1.1.2.7

Some $2 x - 8$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8)$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique.

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Etapa 1.1.1.3.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} (2 x - 8)$ .

$f' (x) = (2 x - 8) (\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41})$

Etapa 1.1.1.3.2

Multiplique $2 x - 8$ por $\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41}$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 8}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 1.1.1.3.3

Fatore $2$ de $2 x - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.3.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x) - 8}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 1.1.1.3.3.2

Fatore $2$ de $- 8$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 \cdot - 4}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 1.1.1.3.3.3

Fatore $2$ de $2 x + 2 \cdot - 4$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 4)}{x^{2} - 8 x + 41}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 (x - 4)}{x^{2} - 8 x + 41}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x^{2} - 8 x + 41}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x - 4}{x^{2} - 8 x + 41})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - 4$ e $g (x) = x^{2} - 8 x + 41$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.3.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.3.4.2

Multiplique $x^{2} - 8 x + 41$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 8 x + 41$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.3.7

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.3.9

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.3.10

Como $41$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $41$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 + 0)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.3.11

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.11.1

Some $2 x - 8$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.3.11.2

Combine $2$ e $\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 8 x + 41 + (- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 41 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.2.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.4.3.1.1

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 41 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.3.1.2

Multiplique $2$ por $41$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.3.1.4

Expanda $(- x + 4) (2 x - 8)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.3.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x - 8) + 4 (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.3.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.3.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.3.1.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.2.4.3.1.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.3.1.5.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 x \cdot x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.3.1.5.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.3.1.5.1.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 (x \cdot x)) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.3.1.5.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 x^{2}) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.3.1.5.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.3.1.5.1.4

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.3.1.5.1.5

Multiplique $2$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 8 x + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.3.1.5.1.6

Multiplique $4$ por $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 8 x - 32)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.3.1.5.2

Some $8 x$ e $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 16 x - 32)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.3.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (16 x) + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.3.1.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.3.1.7.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 2 (16 x) + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.3.1.7.2

Multiplique $16$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 32 x + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.3.1.7.3

Multiplique $2$ por $- 32$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 32 x - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.3.2

Subtraia $4 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 16 x + 82 + 32 x - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.3.3

Some $- 16 x$ e $32 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16 x + 82 - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.3.4

Subtraia $64$ de $82$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16 x + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.2.4.4.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{2} + 16 x + 18$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.4.1.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 16 x + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.4.1.2

Fatore $2$ de $16 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 (8 x) + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.4.1.3

Fatore $2$ de $18$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 (8 x) + 2 (9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.4.1.4

Fatore $2$ de $2 (- x^{2}) + 2 (8 x)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 x) + 2 (9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.4.1.5

Fatore $2$ de $2 (- x^{2} + 8 x) + 2 (9)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.4.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.1.2.4.4.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 9 = - 9$ e cuja soma é $b = 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.4.2.1.1

Fatore $8$ de $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 (x) + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.4.2.1.2

Reescreva $8$ como $- 1$ mais $9$

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + (- 1 + 9) x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.4.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} - 1 x + 9 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.4.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.1.2.4.4.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$f'' (x) = \frac{2 ((- x^{2} - 1 x) + 9 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.4.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$f'' (x) = \frac{2 (x (- x - 1) - 9 (- x - 1))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.4.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((- x - 1) (x - 9))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

$f'' (x) = \frac{2 (- x - 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.5

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.6

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 1 \cdot 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.7

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.8

Reescreva $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{(2 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.10

Reordene os fatores em $- \frac{(2 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 (x + 1) (x - 9) = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 9 = 0$

Etapa 1.2.3.2

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 1.2.3.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 1.2.3.3

Defina $x - 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Defina $x - 9$ como igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Etapa 1.2.3.3.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$x = 9$

Etapa 1.2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $2 (x + 1) (x - 9) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 9$

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = \ln (x^{2} - 8 x + 41)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina o argumento em $\ln (x^{2} - 8 x + 41)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{2} - 8 x + 41 > 0$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} - 8 x + 41 = 0$

Etapa 2.2.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.2.3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 8$ e $c = 41$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 41)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $41$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.4.1.3

Subtraia $164$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.4.1.4

Reescreva $- 100$ como $- 1 (100)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (100)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.4.1.7

Reescreva $100$ como $10^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.4.1.9

Mova $10$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

Etapa 2.2.4.3

Simplifique $\frac{8 \pm 10 i}{2}$ .

$x = 4 \pm 5 i$

Etapa 2.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $41$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.5.1.3

Subtraia $164$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.5.1.4

Reescreva $- 100$ como $- 1 (100)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (100)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.5.1.7

Reescreva $100$ como $10^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.5.1.9

Mova $10$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

Etapa 2.2.5.3

Simplifique $\frac{8 \pm 10 i}{2}$ .

$x = 4 \pm 5 i$

Etapa 2.2.5.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = 4 + 5 i$

Etapa 2.2.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $41$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.6.1.3

Subtraia $164$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.6.1.4

Reescreva $- 100$ como $- 1 (100)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.6.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (100)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.6.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.6.1.7

Reescreva $100$ como $10^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.6.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.6.1.9

Mova $10$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

Etapa 2.2.6.3

Simplifique $\frac{8 \pm 10 i}{2}$ .

$x = 4 \pm 5 i$

Etapa 2.2.6.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = 4 - 5 i$

Etapa 2.2.7

Identifique o coeficiente de maior ordem.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.7.1

O termo de maior ordem em um polinômio é o termo com o grau mais alto.

$x^{2}$

Etapa 2.2.7.2

O coeficiente de maior ordem de um polinômio é o coeficiente do termo de maior ordem.

$1$

Etapa 2.2.8

Como não há intersecções reais com o eixo x e o coeficiente de maior ordem é positivo, a parábola abre para cima e $x^{2} - 8 x + 41$ é sempre maior do que $0$ .

Todos os números reais

Etapa 2.3

O domínio consiste em números reais apenas.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 9) \cup (9, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 1)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f'' (- 4) = - \frac{2 ((- 4) + 1) ((- 4) - 9)}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Some $- 4$ e $1$ .

$f'' (- 4) = - \frac{2 \cdot (- 3 (- 4 - 9))}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 (- 4 - 9)}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.3

Subtraia $9$ de $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(16 - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $- 8$ por $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(16 + 32 + 41)}^{2}}$

Etapa 4.2.2.3

Some $16$ e $32$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(48 + 41)}^{2}}$

Etapa 4.2.2.4

Some $48$ e $41$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{89^{2}}$

Etapa 4.2.2.5

Eleve $89$ à potência de $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{7921}$

Etapa 4.2.3

Multiplique $- 6$ por $- 13$ .

$f'' (- 4) = - \frac{78}{7921}$

Etapa 4.2.4

A resposta final é $- \frac{78}{7921}$ .

$- \frac{78}{7921}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - 1)$ porque $f'' (- 4)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 1)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- 1, 9)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = - \frac{2 ((0) + 1) ((0) - 9)}{{({(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Some $0$ e $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot (1 (0 - 9))}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (0 - 9)}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.3

Subtraia $9$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Etapa 5.2.2.2

Multiplique $- 8$ por $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 + 0 + 41)}^{2}}$

Etapa 5.2.2.3

Some $0$ e $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 + 41)}^{2}}$

Etapa 5.2.2.4

Some $0$ e $41$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{41^{2}}$

Etapa 5.2.2.5

Eleve $41$ à potência de $2$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{1681}$

Etapa 5.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$f'' (0) = - \frac{- 18}{1681}$

Etapa 5.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (0) = \frac{18}{1681}$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $\frac{18}{1681}$ .

$\frac{18}{1681}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- 1, 9)$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- 1, 9)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(9, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $12$ na expressão.

$f'' (12) = - \frac{2 ((12) + 1) ((12) - 9)}{{({(12)}^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Some $12$ e $1$ .

$f'' (12) = - \frac{2 \cdot (13 (12 - 9))}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $2$ por $13$ .

$f'' (12) = - \frac{26 (12 - 9)}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.3

Subtraia $9$ de $12$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(144 - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $- 8$ por $12$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(144 - 96 + 41)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.3

Subtraia $96$ de $144$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(48 + 41)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.4

Some $48$ e $41$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{89^{2}}$

Etapa 6.2.2.5

Eleve $89$ à potência de $2$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{7921}$

Etapa 6.2.3

Multiplique $26$ por $3$ .

$f'' (12) = - \frac{78}{7921}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $- \frac{78}{7921}$ .

$- \frac{78}{7921}$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(9, \infty)$ porque $f'' (12)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(9, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 1)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- 1, 9)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(9, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 8