Cálculo Exemplos

$f (x) = (x - 3) (x^{2} - 6 x - 18)$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 3$ e $g (x) = x^{2} - 6 x - 18$ .

$f' (x) = (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 18) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 6 x - 18$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$f' (x) = (x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

Etapa 1.1.1.2.3

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

Etapa 1.1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

Etapa 1.1.1.2.5

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

Etapa 1.1.1.2.6

Como $- 18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 18$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6 + 0) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

Etapa 1.1.1.2.7

Some $2 x - 6$ e $0$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

Etapa 1.1.1.2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x - 18) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))$

Etapa 1.1.1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x - 18) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))$

Etapa 1.1.1.2.10

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x - 18) (1 + 0)$

Etapa 1.1.1.2.11

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.11.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x - 18) \cdot 1$

Etapa 1.1.1.2.11.2

Multiplique $x^{2} - 6 x - 18$ por $1$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + x^{2} - 6 x - 18$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = (x - 3) (2 x) + (x - 3) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

Etapa 1.1.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x (2 x) - 3 (2 x) + (x - 3) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

Etapa 1.1.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

Etapa 1.1.1.3.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.4.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 3 (2 x) + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

Etapa 1.1.1.3.4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 3 (2 x) + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

Etapa 1.1.1.3.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 2 x^{1 + 1} - 3 (2 x) + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

Etapa 1.1.1.3.4.4

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 3 (2 x) + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

Etapa 1.1.1.3.4.5

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 6 x + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

Etapa 1.1.1.3.4.6

Mova $- 6$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 6 x - 6 \cdot x - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

Etapa 1.1.1.3.4.7

Multiplique $- 3$ por $- 6$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 6 x - 6 x + 18 + x^{2} - 6 x - 18$

Etapa 1.1.1.3.4.8

Subtraia $6 x$ de $- 6 x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 12 x + 18 + x^{2} - 6 x - 18$

Etapa 1.1.1.3.4.9

Some $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 18 - 6 x - 18$

Etapa 1.1.1.3.4.10

Subtraia $6 x$ de $- 12 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 18 - 18$

Etapa 1.1.1.3.4.11

Subtraia $18$ de $18$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 0$

Etapa 1.1.1.3.4.12

Some $3 x^{2} - 18 x$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 18 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x)$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x)$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 18 x)$

Etapa 1.1.2.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 18 x)$

Etapa 1.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Como $- 18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 18 x$ em relação a $x$ é $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 18 \frac{d}{d x} x$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 18 \cdot 1$

Etapa 1.1.2.3.3

Multiplique $- 18$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 18$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x - 18$ .

$6 x - 18$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x - 18 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$6 x - 18 = 0$

Etapa 1.2.2

Some $18$ aos dois lados da equação.

$6 x = 18$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $6 x = 18$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $6 x = 18$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{18}{6}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{18}{6}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{18}{6}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Divida $18$ por $6$ .

$x = 3$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 3)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 6 (0) - 18$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Multiplique $6$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 18$

Etapa 4.2.2

Subtraia $18$ de $0$ .

$f'' (0) = - 18$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $- 18$ .

$- 18$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, 3)$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 3)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(3, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f'' (6) = 6 (6) - 18$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Multiplique $6$ por $6$ .

$f'' (6) = 36 - 18$

Etapa 5.2.2

Subtraia $18$ de $36$ .

$f'' (6) = 18$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $18$ .

$18$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(3, \infty)$ porque $f'' (6)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(3, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 3)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(3, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7