Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 49$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 49) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 49)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 49) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 49)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.2

Multiplique $x^{2} + 49$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 49 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 49)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 49$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 49 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (49))}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 49 - x (2 x + \frac{d}{d x} (49))}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.5

Como $49$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $49$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 49 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 49 - x (2 x)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 49 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 49 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 49 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 49 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.6

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 49 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.7

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 49}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 49) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{2}}{{({(x^{2} + 49)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 49)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 1.1.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 49) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 49) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} + 49$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (49)) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (49)) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (49)) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (49)) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.6

Como $49$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $49$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.7

Some $- 2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 49$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 49$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 49) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 49) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 49$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 49) (2 (x^{2} + 49) \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 49$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (49)))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) (2 x + \frac{d}{d x} (49)))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.4

Como $49$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $49$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) (2 x))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.5.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 49$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) (2 \cdot ((x^{2} + 49) x))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.5.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) ((x^{2} + 49) x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 49)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.2

Reescreva ${(x^{2} + 49)}^{2}$ como $(x^{2} + 49) (x^{2} + 49)$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 49) (x^{2} + 49)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.3

Expanda $(x^{2} + 49) (x^{2} + 49)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 49) + 49 (x^{2} + 49)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 49 + 49 (x^{2} + 49)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 49 + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 49 + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 49 + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1.2

Mova $49$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 49 \cdot x^{2} + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1.3

Multiplique $49$ por $49$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 49 x^{2} + 49 x^{2} + 2401) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.2

Some $49 x^{2}$ e $49 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 98 x^{2} + 2401) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (98 x^{2}) - 2 \cdot 2401) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.6.1

Multiplique $98$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 196 x^{2} - 2 \cdot 2401) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.6.2

Multiplique $- 2$ por $2401$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 196 x^{2} - 4802) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.1.3

Some $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 (x \cdot x^{2}) - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 (x \cdot x^{2}) - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{1 + 2} - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.9.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.9.2

Multiplique $- 4$ por $49$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 196) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.10

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.10.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.10.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 196) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.10.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 196) (x^{2 + 1} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.10.2

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 196) (x^{3} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.11

Expanda $(4 x^{2} - 196) (x^{3} + 49 x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{2} (x^{3} + 49 x) - 196 (x^{3} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (49 x) - 196 (x^{3} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (49 x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.1.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (49 x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (49 x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.1.3

Some $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (49 x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (49 x^{2} x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.3.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (49 (x \cdot x^{2})) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (49 (x \cdot x^{2})) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (49 x^{1 + 2}) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (49 x^{3}) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.4

Multiplique $4$ por $49$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 196 x^{3} - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.5

Multiplique $49$ por $- 196$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 196 x^{3} - 196 x^{3} - 9604 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.2

Subtraia $196 x^{3}$ de $196 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 0 - 9604 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.3

Some $4 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} - 9604 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.2

Some $- 2 x^{5}$ e $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x - 9604 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.3

Subtraia $9604 x$ de $- 4802 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 196 x^{3} - 14406 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.4.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{5} - 196 x^{3} - 14406 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.4.1.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 196 x^{3} - 14406 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.1.2

Fatore $2 x$ de $- 196 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 98 x^{2}) - 14406 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.1.3

Fatore $2 x$ de $- 14406 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 98 x^{2}) + 2 x (- 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.1.4

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{4}) + 2 x (- 98 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 98 x^{2}) + 2 x (- 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.1.5

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{4} - 98 x^{2}) + 2 x (- 7203)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 98 x^{2} - 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 98 x^{2} - 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.3

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 98 u - 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.4

Fatore $u^{2} - 98 u - 7203$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.4.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 7203$ e cuja soma é $- 98$ .

$- 147, 49$

Etapa 1.1.2.5.4.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 147) (u + 49))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 147) (x^{2} + 49)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.5

Cancele o fator comum de $x^{2} + 49$ e ${(x^{2} + 49)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.5.1

Fatore $x^{2} + 49$ de $2 x (x^{2} - 147) (x^{2} + 49)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 49) (2 x (x^{2} - 147))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.5.2.1

Fatore $x^{2} + 49$ de ${(x^{2} + 49)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 49) (2 x (x^{2} - 147))}{(x^{2} + 49) {(x^{2} + 49)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.5.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 49) (2 x (x^{2} - 147))}{(x^{2} + 49) {(x^{2} + 49)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.5.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 x (x^{2} - 147) = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 147 = 0$

Etapa 1.2.3.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.3.3

Defina $x^{2} - 147$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Defina $x^{2} - 147$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 147 = 0$

Etapa 1.2.3.3.2

Resolva $x^{2} - 147 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.1

Some $147$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 147$

Etapa 1.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{147}$

Etapa 1.2.3.3.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{147}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.3.1

Reescreva $147$ como $7^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.3.1.1

Fatore $49$ de $147$ .

$x = \pm \sqrt{49 (3)}$

Etapa 1.2.3.3.2.3.1.2

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{7^{2} \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.3.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm 7 \sqrt{3}$

Etapa 1.2.3.3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 7 \sqrt{3}$

Etapa 1.2.3.3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 7 \sqrt{3}$

Etapa 1.2.3.3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 7 \sqrt{3}, - 7 \sqrt{3}$

Etapa 1.2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $2 x (x^{2} - 147) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 7 \sqrt{3}, - 7 \sqrt{3}$

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina o denominador em $\frac{x}{x^{2} + 49}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} + 49 = 0$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Subtraia $49$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 49$

Etapa 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 49}$

Etapa 2.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 49}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Reescreva $- 49$ como $- 1 (49)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (49)}$

Etapa 2.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (49)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$

Etapa 2.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{49}$

Etapa 2.2.3.4

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{7^{2}}$

Etapa 2.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 7$

Etapa 2.2.3.6

Mova $7$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 7 i$

Etapa 2.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 7 i$

Etapa 2.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 7 i$

Etapa 2.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 7 i, - 7 i$

Etapa 2.3

O domínio consiste em números reais apenas.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 7 \sqrt{3}) \cup (- 7 \sqrt{3}, 0) \cup (0, 7 \sqrt{3}) \cup (7 \sqrt{3}, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 7 \sqrt{3})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 15$ na expressão.

$f'' (- 15) = \frac{2 (- 15) ({(- 15)}^{2} - 147)}{{({(- 15)}^{2} + 49)}^{3}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Multiplique $2$ por $- 15$ .

$f'' (- 15) = \frac{- 30 ({(- 15)}^{2} - 147)}{{({(- 15)}^{2} + 49)}^{3}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Eleve $- 15$ à potência de $2$ .

$f'' (- 15) = \frac{- 30 ({(- 15)}^{2} - 147)}{{(225 + 49)}^{3}}$

Etapa 4.2.2.2

Some $225$ e $49$ .

$f'' (- 15) = \frac{- 30 ({(- 15)}^{2} - 147)}{274^{3}}$

Etapa 4.2.2.3

Eleve $274$ à potência de $3$ .

$f'' (- 15) = \frac{- 30 ({(- 15)}^{2} - 147)}{20570824}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Eleve $- 15$ à potência de $2$ .

$f'' (- 15) = \frac{- 30 (225 - 147)}{20570824}$

Etapa 4.2.3.2

Subtraia $147$ de $225$ .

$f'' (- 15) = \frac{- 30 \cdot 78}{20570824}$

Etapa 4.2.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Multiplique $- 30$ por $78$ .

$f'' (- 15) = \frac{- 2340}{20570824}$

Etapa 4.2.4.2

Cancele o fator comum de $- 2340$ e $20570824$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.2.1

Fatore $4$ de $- 2340$ .

$f'' (- 15) = \frac{4 (- 585)}{20570824}$

Etapa 4.2.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.2.2.1

Fatore $4$ de $20570824$ .

$f'' (- 15) = \frac{4 \cdot - 585}{4 \cdot 5142706}$

Etapa 4.2.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- 15) = \frac{4 \cdot - 585}{4 \cdot 5142706}$

Etapa 4.2.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- 15) = \frac{- 585}{5142706}$

Etapa 4.2.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 15) = - \frac{585}{5142706}$

Etapa 4.2.5

A resposta final é $- \frac{585}{5142706}$ .

$- \frac{585}{5142706}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - 7 \sqrt{3})$ porque $f'' (- 15)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 7 \sqrt{3})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- 7 \sqrt{3}, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 147)}{{({(- 2)}^{2} + 49)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} - 147)}{{({(- 2)}^{2} + 49)}^{3}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} - 147)}{{(4 + 49)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.2

Some $4$ e $49$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} - 147)}{53^{3}}$

Etapa 5.2.2.3

Eleve $53$ à potência de $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} - 147)}{148877}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 (4 - 147)}{148877}$

Etapa 5.2.3.2

Subtraia $147$ de $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 \cdot - 143}{148877}$

Etapa 5.2.4

Multiplique $- 4$ por $- 143$ .

$f'' (- 2) = \frac{572}{148877}$

Etapa 5.2.5

A resposta final é $\frac{572}{148877}$ .

$\frac{572}{148877}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- 7 \sqrt{3}, 0)$ porque $f'' (- 2)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- 7 \sqrt{3}, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(0, 7 \sqrt{3})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f'' (2) = \frac{2 (2) ({(2)}^{2} - 147)}{{({(2)}^{2} + 49)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} - 147)}{{(2^{2} + 49)}^{3}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} - 147)}{{(4 + 49)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $4$ e $49$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} - 147)}{53^{3}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $53$ à potência de $3$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} - 147)}{148877}$

Etapa 6.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f'' (2) = \frac{4 (4 - 147)}{148877}$

Etapa 6.2.3.2

Subtraia $147$ de $4$ .

$f'' (2) = \frac{4 \cdot - 143}{148877}$

Etapa 6.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.1

Multiplique $4$ por $- 143$ .

$f'' (2) = \frac{- 572}{148877}$

Etapa 6.2.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (2) = - \frac{572}{148877}$

Etapa 6.2.5

A resposta final é $- \frac{572}{148877}$ .

$- \frac{572}{148877}$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(0, 7 \sqrt{3})$ porque $f'' (2)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(0, 7 \sqrt{3})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(7 \sqrt{3}, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $15$ na expressão.

$f'' (15) = \frac{2 (15) ({(15)}^{2} - 147)}{{({(15)}^{2} + 49)}^{3}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique $2$ por $15$ .

$f'' (15) = \frac{30 (15^{2} - 147)}{{(15^{2} + 49)}^{3}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Eleve $15$ à potência de $2$ .

$f'' (15) = \frac{30 (15^{2} - 147)}{{(225 + 49)}^{3}}$

Etapa 7.2.2.2

Some $225$ e $49$ .

$f'' (15) = \frac{30 (15^{2} - 147)}{274^{3}}$

Etapa 7.2.2.3

Eleve $274$ à potência de $3$ .

$f'' (15) = \frac{30 (15^{2} - 147)}{20570824}$

Etapa 7.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Eleve $15$ à potência de $2$ .

$f'' (15) = \frac{30 (225 - 147)}{20570824}$

Etapa 7.2.3.2

Subtraia $147$ de $225$ .

$f'' (15) = \frac{30 \cdot 78}{20570824}$

Etapa 7.2.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.1

Multiplique $30$ por $78$ .

$f'' (15) = \frac{2340}{20570824}$

Etapa 7.2.4.2

Cancele o fator comum de $2340$ e $20570824$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.2.1

Fatore $4$ de $2340$ .

$f'' (15) = \frac{4 (585)}{20570824}$

Etapa 7.2.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.2.2.1

Fatore $4$ de $20570824$ .

$f'' (15) = \frac{4 \cdot 585}{4 \cdot 5142706}$

Etapa 7.2.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (15) = \frac{4 \cdot 585}{4 \cdot 5142706}$

Etapa 7.2.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (15) = \frac{585}{5142706}$

Etapa 7.2.5

A resposta final é $\frac{585}{5142706}$ .

$\frac{585}{5142706}$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(7 \sqrt{3}, \infty)$ porque $f'' (15)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(7 \sqrt{3}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 7 \sqrt{3})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- 7 \sqrt{3}, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(0, 7 \sqrt{3})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(7 \sqrt{3}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 9