Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 12}{x - 4}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 12$ e $g (x) = x - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12)) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 12)) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.3

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 4) (2 x + 0) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 4) (2 x) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $x - 4$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 4) x) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12) (1 + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.7

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12) (1 + 0)}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.8.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12) \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12)}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 4) x - (x^{2} - 12)}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 4 x) - (x^{2} - 12)}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 4 x) - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.4.1.1.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 4 x) - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- 4 x) - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4.1.2

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 12$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 8 x + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5

Fatore $x^{2} - 8 x + 12$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.1.3.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $12$ e cuja soma é $- 8$ .

$- 6, - 2$

Etapa 1.1.1.3.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f' (x) = \frac{(x - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 6) (x - 2)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x - 4)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 6) (x - 2)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.1.2.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 6) (x - 2)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 6$ e $g (x) = x - 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} ((x - 6) \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 6)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} ((x - 6) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 6)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} ((x - 6) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 6)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} ((x - 6) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 6)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} ((x - 6) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 6)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.4.2

Multiplique $x - 6$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (x - 6 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 6)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (x - 6 + (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6))) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (x - 6 + (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 6))) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.7

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (x - 6 + (x - 2) (1 + 0)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.8.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (x - 6 + (x - 2) \cdot 1) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.8.2

Multiplique $x - 2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (x - 6 + x - 2) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.8.3

Some $x$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (2 x - 6 - 2) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.8.4

Subtraia $2$ de $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (2 x - 8) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (2 x - 8) - (x - 6) (x - 2) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 4))}{{(x - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (2 x - 8) - (x - 6) (x - 2) (2 u \frac{d}{d x} (x - 4))}{{(x - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (2 x - 8) - (x - 6) (x - 2) (2 (x - 4) \frac{d}{d x} (x - 4))}{{(x - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) ((x - 4) \frac{d}{d x} (x - 4))}{{(x - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.6.2

Fatore $x - 4$ de ${(x - 4)}^{2} (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) ((x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4])$ .

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Etapa 1.1.2.6.2.1

Fatore $x - 4$ de ${(x - 4)}^{2} (2 x - 8)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 4) ((x - 4) (2 x - 8)) - 2 (x - 6) (x - 2) ((x - 4) \frac{d}{d x} (x - 4))}{{(x - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.6.2.2

Fatore $x - 4$ de $- 2 (x - 6) (x - 2) ((x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4])$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 4) ((x - 4) (2 x - 8)) + (x - 4) (- 2 (x - 6) (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 4)))}{{(x - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.6.2.3

Fatore $x - 4$ de $(x - 4) ((x - 4) (2 x - 8)) + (x - 4) (- 2 (x - 6) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x - 4]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 4) ((x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 4)))}{{(x - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.7

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.1

Fatore $x - 4$ de ${(x - 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 4) ((x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 4)))}{(x - 4) {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.7.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) ((x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 4)))}{(x - 4) {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.7.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 4))}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.10

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) (1 + 0)}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.11

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.11.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) \cdot 1}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.11.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (2 x - 8) + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.12.2.1.1

Expanda $(x - 4) (2 x - 8)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.12.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (2 x - 8) - 4 (2 x - 8) + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 8 - 4 (2 x - 8) + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 8 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.12.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.12.2.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 8 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.12.2.1.2.1.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 8 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 8 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.2.1.3

Mova $- 8$ para a esquerda de $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 \cdot x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.2.1.4

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x - 8 x - 4 \cdot - 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.2.1.5

Multiplique $- 4$ por $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x - 8 x + 32 + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.2.2

Subtraia $8 x$ de $- 8 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 + (- 2 x + 12) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.4

Expanda $(- 2 x + 12) (x - 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.12.2.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 x (x - 2) + 12 (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 + 12 (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 + 12 x + 12 \cdot - 2}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.12.2.1.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.12.2.1.5.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.12.2.1.5.1.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2 + 12 x + 12 \cdot - 2}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.5.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2 + 12 x + 12 \cdot - 2}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.5.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 x^{2} + 4 x + 12 x + 12 \cdot - 2}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.5.1.3

Multiplique $12$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 x^{2} + 4 x + 12 x - 24}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.1.5.2

Some $4 x$ e $12 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 x^{2} + 16 x - 24}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.2

Combine os termos opostos em $2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 x^{2} + 16 x - 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.12.2.2.1

Subtraia $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x + 32 + 0 + 16 x - 24}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.2.2

Some $- 16 x + 32$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x + 32 + 16 x - 24}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.2.3

Some $- 16 x$ e $16 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 32 - 24}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.2.4

Some $0$ e $32$ .

$f'' (x) = \frac{32 - 24}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12.2.3

Subtraia $24$ de $32$ .

$f'' (x) = \frac{8}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{8}{{(x - 4)}^{3}}$ .

$\frac{8}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{8}{{(x - 4)}^{3}} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{8}{{(x - 4)}^{3}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$8 = 0$

Etapa 1.2.3

Como $8 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{x^{2} - 12}{x - 4}$ .

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Etapa 2.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} - 12}{x - 4}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 4 = 0$

Etapa 2.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 2.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 4}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 4}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 4)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = \frac{8}{{((0) - 4)}^{3}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1.1

Subtraia $4$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{8}{{(- 4)}^{3}}$

Etapa 4.2.1.2

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$f'' (0) = \frac{8}{- 64}$

Etapa 4.2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum de $8$ e $- 64$ .

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Etapa 4.2.2.1.1

Fatore $8$ de $8$ .

$f'' (0) = \frac{8 (1)}{- 64}$

Etapa 4.2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.2.1.2.1

Fatore $8$ de $- 64$ .

$f'' (0) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot - 8}$

Etapa 4.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (0) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot - 8}$

Etapa 4.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (0) = \frac{1}{- 8}$

Etapa 4.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (0) = - \frac{1}{8}$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $- \frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{8}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, 4)$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 4)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(4, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f'' (6) = \frac{8}{{((6) - 4)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Subtraia $4$ de $6$ .

$f'' (6) = \frac{8}{2^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f'' (6) = \frac{8}{8}$

Etapa 5.2.2

Divida $8$ por $8$ .

$f'' (6) = 1$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(4, \infty)$ porque $f'' (6)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(4, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 4)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(4, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7