Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x^{2} + 2 x)}{\ln (x)}$

Etapa 1

Altere o valor crítico bilateral para valor crítico direito.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x^{2} + 2 x)}{\ln (x)}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x^{2} + 2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

Etapa 2.1.2

À medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir do lado direito, $\ln (x^{2} + 2 x)$ diminui sem limites.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

Etapa 2.1.3

À medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir do lado direito, $\ln (x)$ diminui sem limites.

$\frac{- \infty}{- \infty}$

Etapa 2.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{- \infty}{- \infty}$

Etapa 2.2

Como $\frac{- \infty}{- \infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x^{2} + 2 x)}{\ln (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + 2 x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 2.3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 2.3.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + 2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 2.3.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + 2)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 2.3.8

Simplifique.

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Etapa 2.3.8.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + 2)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2 x + 2) \frac{1}{x^{2} + 2 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 2.3.8.2

Fatore $x$ de $x^{2} + 2 x$ .

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Etapa 2.3.8.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2 x + 2) \frac{1}{x \cdot x + 2 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 2.3.8.2.2

Fatore $x$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2 x + 2) \frac{1}{x \cdot x + x \cdot 2}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 2.3.8.2.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2 x + 2) \frac{1}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 2.3.8.3

Multiplique $2 x + 2$ por $\frac{1}{x (x + 2)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 x + 2}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 2.3.8.4

Fatore $2$ de $2 x + 2$ .

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Etapa 2.3.8.4.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (x) + 2}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 2.3.8.4.2

Fatore $2$ de $2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (x) + 2 (1)}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 2.3.8.4.3

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (1)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 2.3.9

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)}}{\frac{1}{x}}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)} x$

Etapa 2.5

Combine $\frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)}$ e $x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x + 1) x}{x (x + 2)}$

Etapa 2.6

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.6.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x + 1) x}{x (x + 2)}$

Etapa 2.6.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x + 1)}{x + 2}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x + 1}{x + 2}$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

Etapa 3.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

Etapa 3.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 2}$

Etapa 3.6

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 \frac{0 + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 \frac{0 + 1}{0 + 2}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Some $0$ e $1$ .

$2 \frac{1}{0 + 2}$

Etapa 5.2

Some $0$ e $2$ .

$2 (\frac{1}{2})$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{1}{2})$

Etapa 5.3.2

Reescreva a expressão.

$1$