Cálculo Exemplos

$y = 3 x^{4} + 4 x^{3}$

Etapa 1

Escreva $y = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ como uma função.

$f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} + 4 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 4 (3 x^{2})$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2}$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{3} + 12 x^{2}$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2}$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{3} + 12 x^{2} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} = 0$

Etapa 3.2

Fatore $12 x^{2}$ de $12 x^{3} + 12 x^{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $12 x^{2}$ de $12 x^{3}$ .

$12 x^{2} (x) + 12 x^{2} = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore $12 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (1) = 0$

Etapa 3.2.3

Fatore $12 x^{2}$ de $12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (1)$ .

$12 x^{2} (x + 1) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 3.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 3.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 3.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 3.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 3.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 3.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $12 x^{2} (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 1$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0, - 1$ .

$0, - 1$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = 12 {(- 2)}^{3} + 12 {(- 2)}^{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f' (- 2) = 12 \cdot - 8 + 12 {(- 2)}^{2}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $12$ por $- 8$ .

$f' (- 2) = - 96 + 12 {(- 2)}^{2}$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = - 96 + 12 \cdot 4$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $12$ por $4$ .

$f' (- 2) = - 96 + 48$

Etapa 6.2.2

Some $- 96$ e $48$ .

$f' (- 2) = - 48$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 48$ .

$- 48$

Etapa 6.3

Em $x = - 2$ , a derivada é $- 48$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - 1)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 1)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 1, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{1}{2}$ na expressão.

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 7.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 (- \frac{1}{2^{3}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 (- \frac{1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.5

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 7.2.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{8}$ para o numerador.

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{- 1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.5.2

Fatore $4$ de $12$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (3) (\frac{- 1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.5.3

Fatore $4$ de $8$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.5.4

Cancele o fator comum.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.5.5

Reescreva a expressão.

$f' (- \frac{1}{2}) = 3 (\frac{- 1}{2}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.6

Combine $3$ e $\frac{- 1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 \cdot - 1}{2} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.7

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3}{2} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.9

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 7.2.1.9.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})$

Etapa 7.2.1.9.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Etapa 7.2.1.10

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Etapa 7.2.1.11

Multiplique $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 (\frac{1^{2}}{2^{2}})$

Etapa 7.2.1.12

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 (\frac{1}{2^{2}})$

Etapa 7.2.1.13

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 (\frac{1}{4})$

Etapa 7.2.1.14

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 7.2.1.14.1

Fatore $4$ de $12$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 4 (3) (\frac{1}{4})$

Etapa 7.2.1.14.2

Cancele o fator comum.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 4 \cdot (3 (\frac{1}{4}))$

Etapa 7.2.1.14.3

Reescreva a expressão.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 3$

Etapa 7.2.2

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 7.2.3

Combine $3$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Etapa 7.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 3 \cdot 2}{2}$

Etapa 7.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.5.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 6}{2}$

Etapa 7.2.5.2

Some $- 3$ e $6$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$

Etapa 7.2.6

A resposta final é $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2}$

Etapa 7.3

Em $x = - \frac{1}{2}$ , a derivada é $\frac{3}{2}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 1, 0)$ .

Acréscimo em $(- 1, 0)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = 12 {(1)}^{3} + 12 {(1)}^{2}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 12 \cdot 1 + 12 {(1)}^{2}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $12$ por $1$ .

$f' (1) = 12 + 12 {(1)}^{2}$

Etapa 8.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 12 + 12 \cdot 1$

Etapa 8.2.1.4

Multiplique $12$ por $1$ .

$f' (1) = 12 + 12$

Etapa 8.2.2

Some $12$ e $12$ .

$f' (1) = 24$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $24$ .

$24$

Etapa 8.3

Em $x = 1$ , a derivada é $24$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- 1, 0), (0, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, - 1)$

Etapa 10