Cálculo Exemplos

$\frac{x - 1}{x + 1}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - 1$ e $g (x) = x + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.4.2

Multiplique $x + 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.8.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{x + 1 - x + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.2.1

Combine os termos opostos em $x + 1 - x - - 1$ .

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Etapa 1.3.2.1.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$f' (x) = \frac{0 + 1 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2

Some $0$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{1 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{1 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.3

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 1)}^{2}})$

Etapa 2.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ como ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{2})}^{- 1})$

Etapa 2.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2 \cdot - 1})$

Etapa 2.1.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{- 2})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x + 1$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x + 1))$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$f'' (x) = 2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$f'' (x) = 2 (- 2 {(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f'' (x) = - 4 ({(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 2.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 1)}^{- 3} (1 + 0)$

Etapa 2.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 1)}^{- 3} \cdot 1$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 1)}^{- 3}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Combine $- 4$ e $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{4}{{(x + 1)}^{3}}$