Cálculo Exemplos

${(x^{2} + 2)}^{9}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{9}$ e $g (x) = x^{2} + 2$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 2$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{9}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 9$ .

$f' (x) = 9 u^{8} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 2$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 2)}^{8} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2))$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 2)}^{8} (2 x + \frac{d}{d x} (2))$

Etapa 1.2.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 2)}^{8} (2 x + 0)$

Etapa 1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 2)}^{8} (2 x)$

Etapa 1.2.4.2

Multiplique $2$ por $9$ .

$f' (x) = 18 {(x^{2} + 2)}^{8} x$

Etapa 1.2.4.3

Reordene os fatores de $18 {(x^{2} + 2)}^{8} x$ .

$f' (x) = 18 x {(x^{2} + 2)}^{8}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $18 x {(x^{2} + 2)}^{8}$ em relação a $x$ é $18 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 2)}^{8}]$ .

$f'' (x) = 18 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 2)}^{8})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 2)}^{8}$ .

$f'' (x) = 18 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2)}^{8}) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{8}$ e $g (x) = x^{2} + 2$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = 18 (x (\frac{d}{d u} (u^{8}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 8$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 u^{7} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 2)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.4

Diferencie.

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Etapa 2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 2)}^{7} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2))) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 2)}^{7} (2 x + \frac{d}{d x} (2))) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.4.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 2)}^{7} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 2)}^{7} (2 x)) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.4.4.2

Multiplique $2$ por $8$ .

$f'' (x) = 18 (x (16 {(x^{2} + 2)}^{7} x) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 18 (x \cdot x (16 {(x^{2} + 2)}^{7}) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 18 (x \cdot x (16 {(x^{2} + 2)}^{7}) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 18 (x^{1 + 1} (16 {(x^{2} + 2)}^{7}) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.8

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 2)}^{7}) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 2)}^{7}) + {(x^{2} + 2)}^{8} \cdot 1)$

Etapa 2.10

Multiplique ${(x^{2} + 2)}^{8}$ por $1$ .

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 2)}^{7}) + {(x^{2} + 2)}^{8})$

Etapa 2.11

Simplifique.

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Etapa 2.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 2)}^{7})) + 18 {(x^{2} + 2)}^{8}$

Etapa 2.11.2

Multiplique $16$ por $18$ .

$f'' (x) = 288 (x^{2} ({(x^{2} + 2)}^{7})) + 18 {(x^{2} + 2)}^{8}$

Etapa 2.11.3

Fatore $18 {(x^{2} + 2)}^{7}$ de $288 x^{2} {(x^{2} + 2)}^{7} + 18 {(x^{2} + 2)}^{8}$ .

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Etapa 2.11.3.1

Fatore $18 {(x^{2} + 2)}^{7}$ de $288 x^{2} {(x^{2} + 2)}^{7}$ .

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 2)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 2)}^{8}$

Etapa 2.11.3.2

Fatore $18 {(x^{2} + 2)}^{7}$ de $18 {(x^{2} + 2)}^{8}$ .

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 2)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 2)}^{7} (x^{2} + 2)$

Etapa 2.11.3.3

Fatore $18 {(x^{2} + 2)}^{7}$ de $18 {(x^{2} + 2)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 2)}^{7} (x^{2} + 2)$ .

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 2)}^{7} (16 x^{2} + x^{2} + 2)$

Etapa 2.11.4

Some $16 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 2)}^{7} (17 x^{2} + 2)$