Cálculo Exemplos

${(x^{2} + 1)}^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (x^{2} + 1) (2 x + 0)$

Etapa 1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$2 (x^{2} + 1) (2 x)$

Etapa 1.2.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 (x^{2} + 1) x$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(4 x^{2} + 4 \cdot 1) x$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} x + 4 \cdot 1 x$

Etapa 1.3.3

Combine os termos.

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Etapa 1.3.3.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot 1 x$

Etapa 1.3.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 x^{1 + 2} + 4 \cdot 1 x$

Etapa 1.3.3.3

Some $1$ e $2$ .

$4 x^{3} + 4 \cdot 1 x$

Etapa 1.3.3.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} + 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 x^{2} + 4 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 4$