Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2}}{x - 1}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 1) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.6.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 1 x) - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1.1.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 1 x) - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x) - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.4

Fatore $x$ de $x^{2} - 2 x$ .

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Etapa 1.3.4.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.4.2

Fatore $x$ de $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x + x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.4.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x - 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 2.4

Diferencie.

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Etapa 2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 2.4.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 2.4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 2.4.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 2.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x + (x - 2) \cdot 1) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 2.4.6

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.4.6.1

Multiplique $x - 2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x + x - 2) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 2.4.6.2

Some $x$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 1$ .

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Etapa 2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - x (x - 2) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - x (x - 2) (2 u \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - x (x - 2) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 2.6

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - 2 x (x - 2) ((x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.2

Fatore $x - 1$ de ${(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - 2 x (x - 2) ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$ .

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Etapa 2.6.2.1

Fatore $x - 1$ de ${(x - 1)}^{2} (2 x - 2)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2)) - 2 x (x - 2) ((x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.2.2

Fatore $x - 1$ de $- 2 x (x - 2) ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2)) + (x - 1) (- 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.2.3

Fatore $x - 1$ de $(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2)) + (x - 1) (- 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} [x - 1]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 2.7

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.7.1

Fatore $x - 1$ de ${(x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.7.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.7.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.10

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.11.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) \cdot 1}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.11.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2)}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.12

Simplifique.

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Etapa 2.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.12.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.12.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.12.2.1.1

Expanda $(x - 1) (2 x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.12.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (2 x - 2) - 1 (2 x - 2) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.12.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - 1 (2 x - 2) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.12.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.12.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.12.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.12.2.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.12.2.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.12.2.1.2.1.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.12.2.1.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.12.2.1.2.1.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 \cdot x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.12.2.1.2.1.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.12.2.1.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 2 x + 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.12.2.1.2.2

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.12.2.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.12.2.1.3.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.12.2.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.12.2.1.4

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x^{2} + 4 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.12.2.2

Combine os termos opostos em $2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x^{2} + 4 x$ .

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Etapa 2.12.2.2.1

Subtraia $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x + 2 + 0 + 4 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.12.2.2.2

Some $- 4 x + 2$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x + 2 + 4 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.12.2.2.3

Some $- 4 x$ e $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.12.2.2.4

Some $0$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 1)}^{3}}$