Cálculo Exemplos

$\frac{1}{1 - x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Reescreva $\frac{1}{1 - x^{2}}$ como ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{- 1}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x^{2}$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 1.3.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 1.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.3.5

Multiplique.

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Etapa 1.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.5.2

Multiplique ${(1 - x^{2})}^{- 2}$ por $1$ .

${(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

${(1 - x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Etapa 1.3.7

Mova $2$ para a esquerda de ${(1 - x^{2})}^{- 2}$ .

$2 \cdot {(1 - x^{2})}^{- 2} x$

Etapa 1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Combine os termos.

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Etapa 1.5.1.1

Combine $2$ e $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

Etapa 1.5.1.2

Combine $\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.5.2

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(- x^{2} + 1)}^{2}$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(- x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(- x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.3.3

Multiplique ${(- x^{2} + 1)}^{2}$ por $1$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = - x^{2} + 1$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x^{2} + 1$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x^{2} + 1$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.2

Fatore $- x^{2} + 1$ de ${(- x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])$ .

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Etapa 2.5.2.1

Fatore $- x^{2} + 1$ de ${(- x^{2} + 1)}^{2}$ .

$2 \frac{(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1) - 2 x ((- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.2.2

Fatore $- x^{2} + 1$ de $- 2 x ((- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])$ .

$2 \frac{(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1) + (- x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.2.3

Fatore $- x^{2} + 1$ de $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1) + (- x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 1]))$ .

$2 \frac{(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.6.1

Fatore $- x^{2} + 1$ de ${(- x^{2} + 1)}^{4}$ .

$2 \frac{(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 1]))}{(- x^{2} + 1) {(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.6.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 1]))}{(- x^{2} + 1) {(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.6.3

Reescreva a expressão.

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.8

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (- (2 x) + \frac{d}{d x} [1])}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.10

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (- 2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.11

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (- 2 x + 0)}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.12.1

Some $- 2 x$ e $0$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (- 2 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.12.2

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 + 4 x \cdot x}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.13

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 + 4 (x^{1} x)}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.14

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 + 4 (x^{1} x^{1})}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.15

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \frac{- x^{2} + 1 + 4 x^{1 + 1}}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.16

Some $1$ e $1$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 + 4 x^{2}}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.17

Some $- x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$2 \frac{3 x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.18

Combine $2$ e $\frac{3 x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.19

Simplifique.

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Etapa 2.19.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.19.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.19.2.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.19.2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{2} + 2}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$