Cálculo Exemplos

${(1 - x)}^{- 2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = 1 - x$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} (- \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.5

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2 {(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 {(1 - x)}^{- 3} \cdot 1$

Etapa 1.2.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 {(1 - x)}^{- 3}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(1 - x)}^{3}}$

Etapa 1.3.2

Combine $2$ e $\frac{1}{{(1 - x)}^{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{{(1 - x)}^{3}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{{(1 - x)}^{3}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - x)}^{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - x)}^{3}}]$

Etapa 2.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(1 - x)}^{3}}$ como ${({(1 - x)}^{3})}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{({(1 - x)}^{3})}^{- 1}]$

Etapa 2.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(1 - x)}^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{3 \cdot - 1}]$

Etapa 2.1.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{- 3}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 3}$ e $g (x) = 1 - x$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [1 - x])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$2 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x$ .

$2 (- 3 {(1 - x)}^{- 4} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$- 6 ({(1 - x)}^{- 4} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 6 {(1 - x)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 2.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 6 {(1 - x)}^{- 4} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 2.3.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 6 {(1 - x)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 {(1 - x)}^{- 4} (- \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.6

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$6 {(1 - x)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 {(1 - x)}^{- 4} \cdot 1$

Etapa 2.3.8

Multiplique $6$ por $1$ .

$6 {(1 - x)}^{- 4}$

Etapa 2.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{1}{{(1 - x)}^{4}}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Combine $6$ e $\frac{1}{{(1 - x)}^{4}}$ .

$\frac{6}{{(1 - x)}^{4}}$

Etapa 2.5.2

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{6}{{(- x + 1)}^{4}}$