Cálculo Exemplos

$\frac{17}{x^{2} + 12}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Como $17$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{17}{x^{2} + 12}$ em relação a $x$ é $17 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 12}]$ .

$17 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 12}]$

Etapa 1.1.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2} + 12}$ como ${(x^{2} + 12)}^{- 1}$ .

$17 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{- 1}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 12$ .

$17 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$17 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 12$ .

$17 (- {(x^{2} + 12)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Multiplique $- 1$ por $17$ .

$- 17 ({(x^{2} + 12)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$- 17 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 17 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [12])$

Etapa 1.3.4

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 17 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x + 0)$

Etapa 1.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$- 17 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x)$

Etapa 1.3.5.2

Multiplique $2$ por $- 17$ .

$- 34 {(x^{2} + 12)}^{- 2} x$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 34 \frac{1}{{(x^{2} + 12)}^{2}} x$

Etapa 1.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Combine $- 34$ e $\frac{1}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ .

$\frac{- 34}{{(x^{2} + 12)}^{2}} x$

Etapa 1.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{34}{{(x^{2} + 12)}^{2}} x$

Etapa 1.4.2.3

Combine $x$ e $\frac{34}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 34}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$

Etapa 1.4.2.4

Mova $34$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = - \frac{34 x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $- 34$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{34 x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ em relação a $x$ é $- 34 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}]$ .

$- 34 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 12)}^{2}$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{({(x^{2} + 12)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 12)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Etapa 2.3.3

Multiplique ${(x^{2} + 12)}^{2}$ por $1$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 12$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 12$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (2 (x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Etapa 2.5

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Etapa 2.5.2

Fatore $x^{2} + 12$ de ${(x^{2} + 12)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Fatore $x^{2} + 12$ de ${(x^{2} + 12)}^{2}$ .

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Etapa 2.5.2.2

Fatore $x^{2} + 12$ de $- 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ .

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) + (x^{2} + 12) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Etapa 2.5.2.3

Fatore $x^{2} + 12$ de $(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) + (x^{2} + 12) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))$ .

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Etapa 2.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Fatore $x^{2} + 12$ de ${(x^{2} + 12)}^{4}$ .

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{(x^{2} + 12) {(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.6.2

Cancele o fator comum.

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{(x^{2} + 12) {(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.6.3

Reescreva a expressão.

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [12])}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.9

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.10

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.10.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.12

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.14

Some $1$ e $1$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.15

Subtraia $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 34 \frac{- 3 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.16

Combine $- 34$ e $\frac{- 3 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$ .

$\frac{- 34 (- 3 x^{2} + 12)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{34 (- 3 x^{2} + 12)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.18

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{34 (- 3 x^{2}) + 34 \cdot 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.18.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.1

Multiplique $- 3$ por $34$ .

$- \frac{- 102 x^{2} + 34 \cdot 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.2

Multiplique $34$ por $12$ .

$f'' (x) = - \frac{- 102 x^{2} + 408}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$