Cálculo Exemplos

$\frac{4 x + 4}{x^{2} + 3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 4 x + 4$ e $g (x) = x^{2} + 3$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (4 x + 4) - (4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4)) - (4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)) - (4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)) - (4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.2.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) (4 + \frac{d}{d x} (4)) - (4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.2.5

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) (4 + 0) - (4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.6.1

Some $4$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) \cdot 4 - (4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.2.6.2

Mova $4$ para a esquerda de $x^{2} + 3$ .

$f' (x) = \frac{4 \cdot (x^{2} + 3) - (4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} + 3) - (4 x + 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} + 3) - (4 x + 4) (2 x + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.2.9

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} + 3) - (4 x + 4) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.2.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} + 3) - (4 x + 4) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.2.10.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} + 3) - 2 (4 x + 4) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 \cdot 3 - 2 (4 x + 4) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 \cdot 3 + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 4) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 \cdot 3 - 2 (4 x) x - 2 \cdot (4 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.4.1.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 12 - 2 (4 x) x - 2 \cdot (4 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.4.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.4.1.2.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 12 - 2 (4 (x \cdot x)) - 2 \cdot (4 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.4.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 12 - 2 (4 x^{2}) - 2 \cdot (4 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.4.1.3

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 12 - 8 x^{2} - 2 \cdot (4 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.4.1.4

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 12 - 8 x^{2} - 8 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.4.2

Subtraia $8 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 12 - 8 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.5

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} - 8 x + 12}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.6.1

Fatore $4$ de $- 4 x^{2} - 8 x + 12$ .

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Etapa 1.3.6.1.1

Fatore $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2}) - 8 x + 12}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.1.2

Fatore $4$ de $- 8 x$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x) + 12}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.1.3

Fatore $4$ de $12$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4 (3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.1.4

Fatore $4$ de $4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x)$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} - 2 x) + 4 (3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.1.5

Fatore $4$ de $4 (- x^{2} - 2 x) + 4 (3)$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} - 2 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.3.6.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ e cuja soma é $b = - 2$ .

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Etapa 1.3.6.2.1.1

Fatore $- 2$ de $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} - 2 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.2.1.2

Reescreva $- 2$ como $1$ mais $- 3$

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} + (1 - 3) x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} + 1 x - 3 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.2.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} + x - 3 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.3.6.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$f' (x) = \frac{4 ((- x^{2} + x) - 3 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$f' (x) = \frac{4 (x (- x + 1) + 3 (- x + 1))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x + 1$ .

$f' (x) = \frac{4 ((- x + 1) (x + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

$f' (x) = \frac{4 (- x + 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.7

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$f' (x) = \frac{4 (- (x) + 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.8

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{4 (- (x) - 1 \cdot - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.9

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{4 (- (x - 1)) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.10

Reescreva $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{4 (- 1 (x - 1)) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{(4 (x - 1)) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.12

Reordene os fatores em $- \frac{(4 (x - 1)) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{4 (x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{4 (x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 2.2

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 1) (x + 3)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 1) (x + 3)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 1) (x + 3)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 1$ e $g (x) = x + 3$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} (x + 3) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x - 1)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.5

Diferencie.

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Etapa 2.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x - 1)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (3)) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x - 1)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.5.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} ((x - 1) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x - 1)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.5.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} ((x - 1) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} (x - 1)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.2

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (x - 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} (x - 1)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.5.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (x - 1 + (x + 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.5.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (x - 1 + (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} (- 1))) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.5.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (x - 1 + (x + 3) (1 + 0)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.5.8

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.5.8.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (x - 1 + (x + 3) \cdot 1) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.5.8.2

Multiplique $x + 3$ por $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (x - 1 + x + 3) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.5.8.3

Some $x$ e $x$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x - 1 + 3) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.5.8.4

Some $- 1$ e $3$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 2) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 3$ .

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Etapa 2.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 3$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 2) - (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 2) - (x - 1) (x + 3) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 3$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 2) - (x - 1) (x + 3) (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.7

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.7.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.7.2

Fatore $x^{2} + 3$ de ${(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

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Etapa 2.7.2.1

Fatore $x^{2} + 3$ de ${(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 2)$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) ((x^{2} + 3) (2 x + 2)) - 2 (x - 1) (x + 3) ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.7.2.2

Fatore $x^{2} + 3$ de $- 2 (x - 1) (x + 3) ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) ((x^{2} + 3) (2 x + 2)) + (x^{2} + 3) (- 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.7.2.3

Fatore $x^{2} + 3$ de $(x^{2} + 3) ((x^{2} + 3) (2 x + 2)) + (x^{2} + 3) (- 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) ((x^{2} + 3) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.8

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.8.1

Fatore $x^{2} + 3$ de ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) ((x^{2} + 3) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.8.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) ((x^{2} + 3) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.8.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (2 x + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.11

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.12

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.12.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) (2 x + 2) - 4 (x - 1) (x + 3) x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.12.3

Combine $- 4$ e $\frac{(x^{2} + 3) (2 x + 2) - 4 (x - 1) (x + 3) x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 ((x^{2} + 3) (2 x + 2) - 4 (x - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.12.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{(4) ((x^{2} + 3) (2 x + 2) - 4 (x - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{4 ((x^{2} + 3) (2 x + 2) + (- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{4 ((x^{2} + 3) (2 x + 2)) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.13.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.13.3.1.1

Expanda $(x^{2} + 3) (2 x + 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.13.3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{4 (x^{2} (2 x + 2) + 3 (2 x + 2)) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{4 (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 3 (2 x + 2)) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{4 (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.13.3.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.13.3.1.2.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.2.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.13.3.1.2.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.2.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.2.3

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 2) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.2.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 2) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.2.5

Multiplique $3$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x + 6) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{3}) + 4 (2 x^{2}) + 4 (6 x) + 4 \cdot 6 + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.13.3.1.4.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 4 (2 x^{2}) + 4 (6 x) + 4 \cdot 6 + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.4.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 4 (6 x) + 4 \cdot 6 + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.4.3

Multiplique $6$ por $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 4 \cdot 6 + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.4.4

Multiplique $4$ por $6$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.5

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x + 4) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.6

Expanda $(- 4 x + 4) (x + 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.13.3.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x (x + 3) + 4 (x + 3)) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot 3 + 4 (x + 3)) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot 3 + 4 x + 4 \cdot 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.13.3.1.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.13.3.1.7.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.13.3.1.7.1.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot 3 + 4 x + 4 \cdot 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.7.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x^{2} - 4 x \cdot 3 + 4 x + 4 \cdot 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.7.1.2

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x^{2} - 12 x + 4 x + 4 \cdot 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.7.1.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x^{2} - 12 x + 4 x + 12) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.7.2

Some $- 12 x$ e $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x^{2} - 8 x + 12) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 (- 4 x^{2} x - 8 x \cdot x + 12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.13.3.1.9.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.13.3.1.9.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 (- 4 (x \cdot x^{2}) - 8 x \cdot x + 12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.9.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.13.3.1.9.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 (- 4 (x \cdot x^{2}) - 8 x \cdot x + 12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.9.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 (- 4 x^{1 + 2} - 8 x \cdot x + 12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.9.1.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 (- 4 x^{3} - 8 x \cdot x + 12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.9.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.13.3.1.9.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 (- 4 x^{3} - 8 (x \cdot x) + 12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.9.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 (- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.10

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 (- 4 x^{3}) + 4 (- 8 x^{2}) + 4 (12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.13.3.1.11.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 - 16 x^{3} + 4 (- 8 x^{2}) + 4 (12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.11.2

Multiplique $- 8$ por $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 - 16 x^{3} - 32 x^{2} + 4 (12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.11.3

Multiplique $12$ por $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 - 16 x^{3} - 32 x^{2} + 48 x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.2

Subtraia $16 x^{3}$ de $8 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 - 32 x^{2} + 48 x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.3

Subtraia $32 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{3} - 24 x^{2} + 24 x + 24 + 48 x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.4

Some $24 x$ e $48 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{3} - 24 x^{2} + 72 x + 24}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.4

Fatore $8$ de $- 8 x^{3} - 24 x^{2} + 72 x + 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.13.4.1

Fatore $8$ de $- 8 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x^{3}) - 24 x^{2} + 72 x + 24}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.4.2

Fatore $8$ de $- 24 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x^{3}) + 8 (- 3 x^{2}) + 72 x + 24}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.4.3

Fatore $8$ de $72 x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x^{3}) + 8 (- 3 x^{2}) + 8 (9 x) + 24}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.4.4

Fatore $8$ de $24$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x^{3}) + 8 (- 3 x^{2}) + 8 (9 x) + 8 (3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.4.5

Fatore $8$ de $8 (- x^{3}) + 8 (- 3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 8 (9 x) + 8 (3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.4.6

Fatore $8$ de $8 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 8 (9 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x^{3} - 3 x^{2} + 9 x) + 8 (3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.4.7

Fatore $8$ de $8 (- x^{3} - 3 x^{2} + 9 x) + 8 (3)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.5

Fatore $- 1$ de $- x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x^{3}) - 3 x^{2} + 9 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.6

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x^{3}) - (3 x^{2}) + 9 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.7

Fatore $- 1$ de $- (x^{3}) - (3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x^{3} + 3 x^{2}) + 9 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.8

Fatore $- 1$ de $9 x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 9 x) + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.9

Fatore $- 1$ de $- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 9 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x) + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.10

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x) - 1 \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.11

Fatore $- 1$ de $- (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x) - 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.12

Reescreva $- (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 3)$ como $- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{8 (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.13.14

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{8 (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Etapa 2.13.15

Multiplique $\frac{8 (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$