Cálculo Exemplos

$\frac{9}{\sqrt[3]{x + 1}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 1.1.2

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{9}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 1.1.3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1.3.1

Reescreva $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ como ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$9 \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Etapa 1.1.3.2

Multiplique os expoentes em ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.1.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Etapa 1.1.3.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$9 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{- 1}{3}}]$

Etapa 1.1.3.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$9 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ e $g (x) = x + 1$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$9 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{3}$ .

$9 (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 1.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 1.6.2

Subtraia $3$ de $- 1$ .

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 1.8

Combine ${(x + 1)}^{- \frac{4}{3}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$9 (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 1.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.9.1

Mova ${(x + 1)}^{- \frac{4}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 (- \frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 1.9.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$- 9 (\frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 1.10

Combine $\frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ e $- 9$ .

$\frac{- 9}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 1.11

Fatore $3$ de $- 9$ .

$\frac{3 \cdot - 3}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 1.12

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.12.1

Fatore $3$ de $3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot - 3}{3 ({(x + 1)}^{\frac{4}{3}})} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 1.12.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot - 3}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 1.12.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 1.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 1.14

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.16

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} (1 + 0)$

Etapa 1.17

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.17.1

Some $1$ e $0$ .

$- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 1$

Etapa 1.17.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = - \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.1.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}]$

Etapa 2.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ como ${({(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}]$

Etapa 2.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{4}{3} \cdot - 1}]$

Etapa 2.1.2.2.2

Multiplique $\frac{4}{3} \cdot - 1$ .

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Etapa 2.1.2.2.2.1

Combine $\frac{4}{3}$ e $- 1$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{4 \cdot - 1}{3}}]$

Etapa 2.1.2.2.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{- 4}{3}}]$

Etapa 2.1.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 3 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- \frac{4}{3}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- \frac{4}{3}}$ e $g (x) = x + 1$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$- 3 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{4}{3}$ .

$- 3 (- \frac{4}{3} u^{- \frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{- \frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{- \frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 2.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{- \frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 4 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 4 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 2.6.2

Subtraia $3$ de $- 4$ .

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 7}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{- \frac{7}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 2.8

Combine ${(x + 1)}^{- \frac{7}{3}}$ e $\frac{4}{3}$ .

$- 3 (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{7}{3}} \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 2.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.9.1

Mova $4$ para a esquerda de ${(x + 1)}^{- \frac{7}{3}}$ .

$- 3 (- \frac{4 \cdot {(x + 1)}^{- \frac{7}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 2.9.2

Mova ${(x + 1)}^{- \frac{7}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (- \frac{4}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 2.9.3

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$3 (\frac{4}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 2.10

Combine $\frac{4}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}}$ e $3$ .

$\frac{4 \cdot 3}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.11

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{12}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.12

Fatore $3$ de $12$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.13.1

Fatore $3$ de $3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(x + 1)}^{\frac{7}{3}})} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.14

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.16

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} (1 + 0)$

Etapa 2.17

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.17.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \cdot 1$

Etapa 2.17.2

Multiplique $\frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}}$