Cálculo Exemplos

$4 {(x + 2)}^{\frac{5}{3}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 {(x + 2)}^{\frac{5}{3}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{5}{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{5}{3}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{5}{3}}$ e $g (x) = x + 2$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 2$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{5}{3}$ .

$4 (\frac{5}{3} u^{\frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 2$ .

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 1.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{5 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 1.6.2

Subtraia $3$ de $5$ .

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 1.7

Combine frações.

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Etapa 1.7.1

Combine $\frac{5}{3}$ e ${(x + 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$4 (\frac{5 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 1.7.2

Combine $\frac{5 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ e $4$ .

$\frac{5 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 1.7.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 1.10

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} (1 + 0)$

Etapa 1.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.11.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} \cdot 1$

Etapa 1.11.2

Multiplique $\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $\frac{20}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x + 2$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 2$ .

$\frac{20}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 2$ .

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 2.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 2.6.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 2.7

Combine frações.

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Etapa 2.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 2.7.2

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(x + 2)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{20}{3} (\frac{2 {(x + 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 2.7.3

Mova ${(x + 2)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Etapa 2.7.4

Multiplique $\frac{2}{3 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}}$ por $\frac{20}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 20}{3 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 2.7.5

Multiplique.

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Etapa 2.7.5.1

Multiplique $2$ por $20$ .

$\frac{40}{3 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 2.7.5.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 2.10

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0)$

Etapa 2.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.11.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

Etapa 2.11.2

Multiplique $\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}}$