Cálculo Exemplos

$6 y^{\frac{5}{2}} - 5 x y - 7 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 y^{\frac{5}{2}} - 5 x y - 7 x$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [6 y^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d y} [6 y^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d y} [6 y^{\frac{5}{2}}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $6$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $6 y^{\frac{5}{2}}$ em relação a $y$ é $6 \frac{d}{d y} [y^{\frac{5}{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d y} [y^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = \frac{5}{2}$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Etapa 1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Etapa 1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Etapa 1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Etapa 1.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $2$ de $5$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Etapa 1.2.7

Combine $\frac{5}{2}$ e $y^{\frac{3}{2}}$ .

$6 \frac{5 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Etapa 1.2.8

Combine $6$ e $\frac{5 y^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{6 (5 y^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Etapa 1.2.9

Multiplique $5$ por $6$ .

$\frac{30 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Etapa 1.2.10

Fatore $2$ de $30 y^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (15 y^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Etapa 1.2.11

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.11.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (15 y^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Etapa 1.2.11.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (15 y^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Etapa 1.2.11.3

Reescreva a expressão.

$\frac{15 y^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Etapa 1.2.11.4

Divida $15 y^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- 5 x y]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 5 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 5 x y$ em relação a $y$ é $- 5 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Etapa 1.4

Como $- 7 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 7 x$ em relação a $y$ é $0$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x + 0$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Some $15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x$ e $0$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x$

Etapa 1.5.2

Reordene os termos.

$f' (y) = - 5 x + 15 y^{\frac{3}{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 5 x + 15 y^{\frac{3}{2}}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [- 5 x] + \frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [- 5 x] + \frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2.1.2

Como $- 5 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $15$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $15 y^{\frac{3}{2}}$ em relação a $y$ é $15 \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$ .

$0 + 15 \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1})$

Etapa 2.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 2.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 2.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 2.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 2}{2}})$

Etapa 2.2.6.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2.2.7

Combine $\frac{3}{2}$ e $y^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + 15 \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 2.2.8

Combine $15$ e $\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$0 + \frac{15 (3 y^{\frac{1}{2}})}{2}$

Etapa 2.2.9

Multiplique $3$ por $15$ .

$0 + \frac{45 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{45 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (y) = \frac{45 y^{\frac{1}{2}}}{2}$