Cálculo Exemplos

$x \sqrt{8 - x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{8 - x^{2}}$ como ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 8 - x^{2}$ .

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Etapa 1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $8 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $8 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.8

Combine frações.

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Etapa 1.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.8.3

Mova ${(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.8.4

Combine $\frac{1}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.10

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.11

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.12

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.14

Combine frações.

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Etapa 1.14.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.14.2

Combine $- 2$ e $\frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.14.3

Combine $\frac{- 2 x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.15

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.16

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.17

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.18

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.19

Fatore $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.20

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.20.1

Fatore $2$ de $2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.20.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.20.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.21

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.22

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Etapa 1.23

Multiplique ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.24

Para escrever ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.25

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.26

Multiplique ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.26.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.26.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.26.3

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.26.4

Divida $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 8 - x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.27

Simplifique ${(8 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 8 - x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.28

Subtraia $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 8}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.29

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 8}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = - 2 x^{2} + 8$ e $g (x) = {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 8) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.2

Multiplique os expoentes em ${({(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 8) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 8) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 8) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.3

Simplifique.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 8) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.4

Diferencie.

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Etapa 2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x^{2} + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.4.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (8)) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (8)) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.4.4

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + \frac{d}{d x} (8)) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.4.5

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.4.6

Some $- 4 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = - x^{2} + 8$ .

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Etapa 2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x^{2} + 8$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x^{2} + 8$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.10

Combine frações.

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Etapa 2.10.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.10.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(- x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{{(- x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.10.3

Mova ${(- x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)))}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.12

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (8)))}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (8)))}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.14

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (8)))}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.15

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.16

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.16.1

Some $- 2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.16.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.16.3

Combine $\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.16.4

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.17

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.17.1

Fatore $2$ de $2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.17.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.17.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{- x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.18

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.19

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + 1 (- 2 x^{2} + 8) (\frac{x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.20

Multiplique $- 2 x^{2} + 8$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + (- 2 x^{2} + 8) (\frac{x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.21.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.21.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 8) (\frac{x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.2

Multiplique $- 2 x^{2} + 8$ por $\frac{x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.21.1.3.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{2} + 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.21.1.3.1.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 8) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.3.1.2

Fatore $2$ de $8$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (4)) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.3.1.3

Fatore $2$ de $2 (- x^{2}) + 2 (4)$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 4) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.3.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 2^{2}) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.3.3

Reordene $- x^{2}$ e $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (2^{2} - x^{2}) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.3.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2$ e $b = x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (2 + x) (2 - x) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.4

Para escrever $- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (2 + x) (2 - x) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.5

Combine $- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x$ e $\frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (2 + x) (2 - x) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (2 + x) (2 - x) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.7

Reescreva $\frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (2 + x) (2 - x) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 2.21.1.7.1

Fatore $2 x$ de $- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (2 + x) (2 - x) x$ .

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Etapa 2.21.1.7.1.1

Fatore $2 x$ de $- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (2 + x) (2 - x) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.7.1.2

Fatore $2 x$ de $2 (2 + x) (2 - x) x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x ((2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.7.1.3

Fatore $2 x$ de $2 x (- 2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x ((2 + x) (2 - x))$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.7.2

Combine expoentes.

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Etapa 2.21.1.7.2.1

Multiplique ${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.21.1.7.2.1.1

Mova ${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 ({(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}) + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.7.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.7.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1 + 1}{2}} + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.7.2.1.4

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{2}{2}} + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.7.2.1.5

Divida $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 8) + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.7.2.2

Simplifique $- 2 {(- x^{2} + 8)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 8) + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.21.1.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2}) - 2 \cdot 8 + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.8.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 2 \cdot 8 + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.8.3

Multiplique $- 2$ por $8$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.8.4

Expanda $(2 + x) (2 - x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.21.1.8.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 2 (2 - x) + x (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.8.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.8.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.8.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.21.1.8.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.21.1.8.5.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.8.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.8.5.1.3

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 4 - 2 x + 2 \cdot x + x (- x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.8.5.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 4 - 2 x + 2 x - x \cdot x)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.8.5.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.21.1.8.5.1.5.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.8.5.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 4 - 2 x + 2 x - x^{2})}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.8.5.2

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 4 + 0 - x^{2})}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.8.5.3

Some $4$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 4 - x^{2})}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.8.6

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 16 + 4)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.1.8.7

Some $- 16$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.2

Combine os termos.

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Etapa 2.21.2.1

Reescreva $\frac{\frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$ como um produto.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 8}$

Etapa 2.21.2.2

Multiplique $\frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{- x^{2} + 8}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 8)}$

Etapa 2.21.2.3

Multiplique ${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ por $- x^{2} + 8$ somando os expoentes.

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Etapa 2.21.2.3.1

Multiplique ${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ por $- x^{2} + 8$ .

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Etapa 2.21.2.3.1.1

Eleve $- x^{2} + 8$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 8)}$

Etapa 2.21.2.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Etapa 2.21.2.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Etapa 2.21.2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Etapa 2.21.2.3.4

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$