Cálculo Exemplos

$y = \arcsin (6 x^{5})$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arcsin (6 x^{5}))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arcsin (x)$ e $g (x) = 6 x^{5}$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $6 x^{5}$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [6 x^{5}]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\arcsin (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 x^{5}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x^{5})}^{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

Fatore $6$ de $6 x^{5}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 (x^{5}))}^{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}]$

Etapa 3.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.2.1

Aplique a regra do produto a $6 (x^{5})$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (6^{2} {(x^{5})}^{2})}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}]$

Etapa 3.2.2.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (36 {(x^{5})}^{2})}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}]$

Etapa 3.2.2.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{5})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (36 x^{5 \cdot 2})}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}]$

Etapa 3.2.2.3.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (36 x^{10})}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}]$

Etapa 3.2.2.4

Multiplique $36$ por $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 36 x^{10}}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}]$

Etapa 3.2.3

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{5}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 36 x^{10}}} (6 \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 3.2.4

Combine $6$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - 36 x^{10}}}$ .

$\frac{6}{\sqrt{1 - 36 x^{10}}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 3.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{6}{\sqrt{1 - 36 x^{10}}} (5 x^{4})$

Etapa 3.2.6

Combine frações.

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Etapa 3.2.6.1

Combine $5$ e $\frac{6}{\sqrt{1 - 36 x^{10}}}$ .

$\frac{5 \cdot 6}{\sqrt{1 - 36 x^{10}}} x^{4}$

Etapa 3.2.6.2

Multiplique $5$ por $6$ .

$\frac{30}{\sqrt{1 - 36 x^{10}}} x^{4}$

Etapa 3.2.6.3

Combine $\frac{30}{\sqrt{1 - 36 x^{10}}}$ e $x^{4}$ .

$\frac{30 x^{4}}{\sqrt{1 - 36 x^{10}}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{30 x^{4}}{\sqrt{1 - 36 x^{10}}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{30 x^{4}}{\sqrt{1 - 36 x^{10}}}$