Cálculo Exemplos

$y = x {(x^{2} + 1)}^{5}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 1)}^{5})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{5}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{5}] + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$x (5 {(x^{2} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x (5 {(x^{2} + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (5 {(x^{2} + 1)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (5 {(x^{2} + 1)}^{4} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$x (5 {(x^{2} + 1)}^{4} (2 x)) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.4.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$x (10 {(x^{2} + 1)}^{4} x) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x (10 {(x^{2} + 1)}^{4}) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x^{1} (10 {(x^{2} + 1)}^{4}) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{1 + 1} (10 {(x^{2} + 1)}^{4}) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.7

Some $1$ e $1$ .

$x^{2} (10 {(x^{2} + 1)}^{4}) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} (10 {(x^{2} + 1)}^{4}) + {(x^{2} + 1)}^{5} \cdot 1$

Etapa 3.9

Multiplique ${(x^{2} + 1)}^{5}$ por $1$ .

$x^{2} (10 {(x^{2} + 1)}^{4}) + {(x^{2} + 1)}^{5}$

Etapa 3.10

Simplifique.

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Etapa 3.10.1

Fatore ${(x^{2} + 1)}^{4}$ de $x^{2} (10 {(x^{2} + 1)}^{4}) + {(x^{2} + 1)}^{5}$ .

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Etapa 3.10.1.1

Fatore ${(x^{2} + 1)}^{4}$ de $x^{2} (10 {(x^{2} + 1)}^{4})$ .

${(x^{2} + 1)}^{4} (x^{2} \cdot (10)) + {(x^{2} + 1)}^{5}$

Etapa 3.10.1.2

Fatore ${(x^{2} + 1)}^{4}$ de ${(x^{2} + 1)}^{5}$ .

${(x^{2} + 1)}^{4} (x^{2} \cdot (10)) + {(x^{2} + 1)}^{4} (x^{2} + 1)$

Etapa 3.10.1.3

Fatore ${(x^{2} + 1)}^{4}$ de ${(x^{2} + 1)}^{4} (x^{2} \cdot (10)) + {(x^{2} + 1)}^{4} (x^{2} + 1)$ .

${(x^{2} + 1)}^{4} (x^{2} \cdot (10) + x^{2} + 1)$

Etapa 3.10.2

Combine os termos.

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Etapa 3.10.2.1

Mova $10$ para a esquerda de $x^{2}$ .

${(x^{2} + 1)}^{4} (10 \cdot x^{2} + x^{2} + 1)$

Etapa 3.10.2.2

Some $10 x^{2}$ e $x^{2}$ .

${(x^{2} + 1)}^{4} (11 x^{2} + 1)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = {(x^{2} + 1)}^{4} (11 x^{2} + 1)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(x^{2} + 1)}^{4} (11 x^{2} + 1)$