Cálculo Exemplos

$y = \ln (x^{2})$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{2}))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (2 x)$

Etapa 3.2.2

Simplifique os termos.

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Etapa 3.2.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} x$

Etapa 3.2.2.2

Combine $\frac{2}{x^{2}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2}}$

Etapa 3.2.2.3

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 3.2.2.3.1

Fatore $x$ de $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Etapa 3.2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.2.3.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Etapa 3.2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Etapa 3.2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{x}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{2}{x}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x}$