Cálculo Exemplos

$y = \ln (| 3 x^{2} - 7 x |)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (| 3 x^{2} - 7 x |))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = | 3 x^{2} - 7 x |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $| 3 x^{2} - 7 x |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| 3 x^{2} - 7 x |]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| 3 x^{2} - 7 x |]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $| 3 x^{2} - 7 x |$ .

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |} \frac{d}{d x} [| 3 x^{2} - 7 x |]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = | x |$ e $g (x) = 3 x^{2} - 7 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x^{2} - 7 x$ .

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x])$

Etapa 3.2.2

A derivada de $| u_{2} |$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x^{2} - 7 x$ .

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |} (\frac{3 x^{2} - 7 x}{| 3 x^{2} - 7 x |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x])$

Etapa 3.3

Multiplique $\frac{3 x^{2} - 7 x}{| 3 x^{2} - 7 x |}$ por $\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |}$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| 3 x^{2} - 7 x | | 3 x^{2} - 7 x |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

Etapa 3.4

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| (3 x^{2} - 7 x) (3 x^{2} - 7 x) |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

Etapa 3.5

Eleve $3 x^{2} - 7 x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{1} (3 x^{2} - 7 x) |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

Etapa 3.6

Eleve $3 x^{2} - 7 x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{1} {(3 x^{2} - 7 x)}^{1} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

Etapa 3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

Etapa 3.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

Etapa 3.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 7 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Etapa 3.10

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Etapa 3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Etapa 3.12

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Etapa 3.13

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x - 7 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x - 7 \cdot 1)$

Etapa 3.15

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x - 7)$

Etapa 3.16

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.1

Reordene os fatores de $\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x - 7)$ .

$(6 x - 7) \frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |}$

Etapa 3.16.2

Fatore $x$ de $3 x^{2} - 7 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.2.1

Fatore $x$ de $3 x^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x) - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |}$

Etapa 3.16.2.2

Fatore $x$ de $- 7 x$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x) + x \cdot - 7}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |}$

Etapa 3.16.2.3

Fatore $x$ de $x (3 x) + x \cdot - 7$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |}$

Etapa 3.16.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.3.1

Fatore $x$ de $3 x^{2} - 7 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.3.1.1

Fatore $x$ de $3 x^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| {(x (3 x) - 7 x)}^{2} |}$

Etapa 3.16.3.1.2

Fatore $x$ de $- 7 x$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| {(x (3 x) + x \cdot - 7)}^{2} |}$

Etapa 3.16.3.1.3

Fatore $x$ de $x (3 x) + x \cdot - 7$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| {(x (3 x - 7))}^{2} |}$

Etapa 3.16.3.2

Aplique a regra do produto a $x (3 x - 7)$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} {(3 x - 7)}^{2} |}$

Etapa 3.16.3.3

Reescreva ${(3 x - 7)}^{2}$ como $(3 x - 7) (3 x - 7)$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} ((3 x - 7) (3 x - 7)) |}$

Etapa 3.16.3.4

Expanda $(3 x - 7) (3 x - 7)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 x (3 x - 7) - 7 (3 x - 7)) |}$

Etapa 3.16.3.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x - 7)) |}$

Etapa 3.16.3.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

Etapa 3.16.3.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.3.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.3.5.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

Etapa 3.16.3.5.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.3.5.1.2.1

Mova $x$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

Etapa 3.16.3.5.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

Etapa 3.16.3.5.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

Etapa 3.16.3.5.1.4

Multiplique $- 7$ por $3$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 21 x - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

Etapa 3.16.3.5.1.5

Multiplique $3$ por $- 7$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 21 x - 21 x - 7 \cdot - 7) |}$

Etapa 3.16.3.5.1.6

Multiplique $- 7$ por $- 7$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 21 x - 21 x + 49) |}$

Etapa 3.16.3.5.2

Subtraia $21 x$ de $- 21 x$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 42 x + 49) |}$

Etapa 3.16.3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 42 x) + x^{2} \cdot 49 |}$

Etapa 3.16.3.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.3.7.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{2} x^{2} + x^{2} (- 42 x) + x^{2} \cdot 49 |}$

Etapa 3.16.3.7.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{2} x^{2} - 42 x^{2} x + x^{2} \cdot 49 |}$

Etapa 3.16.3.7.3

Mova $49$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{2} x^{2} - 42 x^{2} x + 49 \cdot x^{2} |}$

Etapa 3.16.3.8

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.3.8.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.3.8.1.1

Mova $x^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 (x^{2} x^{2}) - 42 x^{2} x + 49 \cdot x^{2} |}$

Etapa 3.16.3.8.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{2 + 2} - 42 x^{2} x + 49 \cdot x^{2} |}$

Etapa 3.16.3.8.1.3

Some $2$ e $2$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 x^{2} x + 49 \cdot x^{2} |}$

Etapa 3.16.3.8.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.3.8.2.1

Mova $x$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 (x \cdot x^{2}) + 49 \cdot x^{2} |}$

Etapa 3.16.3.8.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.3.8.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 (x^{1} x^{2}) + 49 \cdot x^{2} |}$

Etapa 3.16.3.8.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 x^{1 + 2} + 49 \cdot x^{2} |}$

Etapa 3.16.3.8.2.3

Some $1$ e $2$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 x^{3} + 49 \cdot x^{2} |}$

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 x^{3} + 49 x^{2} |}$

Etapa 3.16.3.9

Fatore $x^{2}$ de $9 x^{4} - 42 x^{3} + 49 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.3.9.1

Fatore $x^{2}$ de $9 x^{4}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2}) - 42 x^{3} + 49 x^{2} |}$

Etapa 3.16.3.9.2

Fatore $x^{2}$ de $- 42 x^{3}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 42 x) + 49 x^{2} |}$

Etapa 3.16.3.9.3

Fatore $x^{2}$ de $49 x^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 42 x) + x^{2} \cdot 49 |}$

Etapa 3.16.3.9.4

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 42 x)$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 42 x) + x^{2} \cdot 49 |}$

Etapa 3.16.3.9.5

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (9 x^{2} - 42 x) + x^{2} \cdot 49$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 42 x + 49) |}$

Etapa 3.16.3.10

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.3.10.1

Reescreva $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} ({(3 x)}^{2} - 42 x + 49) |}$

Etapa 3.16.3.10.2

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} ({(3 x)}^{2} - 42 x + 7^{2}) |}$

Etapa 3.16.3.10.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$42 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 7$

Etapa 3.16.3.10.4

Reescreva o polinômio.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} ({(3 x)}^{2} - 2 \cdot (3 x) \cdot 7 + 7^{2}) |}$

Etapa 3.16.3.10.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = 3 x$ e $b = 7$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} {(3 x - 7)}^{2} |}$

Etapa 3.16.4

Remova os termos não negativos do valor absoluto.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{x^{2} {(3 x - 7)}^{2}}$

Etapa 3.16.5

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.5.1

Fatore $x$ de $x^{2} {(3 x - 7)}^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{x (x {(3 x - 7)}^{2})}$

Etapa 3.16.5.2

Cancele o fator comum.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{x (x {(3 x - 7)}^{2})}$

Etapa 3.16.5.3

Reescreva a expressão.

$(6 x - 7) \frac{3 x - 7}{x {(3 x - 7)}^{2}}$

Etapa 3.16.6

Cancele o fator comum de $3 x - 7$ e ${(3 x - 7)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.6.1

Multiplique por $1$ .

$(6 x - 7) \frac{(3 x - 7) \cdot 1}{x {(3 x - 7)}^{2}}$

Etapa 3.16.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.6.2.1

Fatore $3 x - 7$ de $x {(3 x - 7)}^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{(3 x - 7) \cdot 1}{(3 x - 7) (x (3 x - 7))}$

Etapa 3.16.6.2.2

Cancele o fator comum.

$(6 x - 7) \frac{(3 x - 7) \cdot 1}{(3 x - 7) (x (3 x - 7))}$

Etapa 3.16.6.2.3

Reescreva a expressão.

$(6 x - 7) \frac{1}{x (3 x - 7)}$

Etapa 3.16.7

Multiplique $6 x - 7$ por $\frac{1}{x (3 x - 7)}$ .

$\frac{6 x - 7}{x (3 x - 7)}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{6 x - 7}{x (3 x - 7)}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x - 7}{x (3 x - 7)}$