Cálculo Exemplos

$y = x^{3} \sqrt{x^{2} + 3}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 3}$ como ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x^{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 3$ .

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Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 3$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 3$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.7

Combine frações.

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Etapa 4.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{3} (\frac{{(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.7.3

Mova ${(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{3} (\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.7.4

Combine $\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{3}$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3] + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.10

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.11

Combine frações.

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Etapa 4.11.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.11.2

Combine $2$ e $\frac{x^{3}}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{3}}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.11.3

Combine $\frac{2 x^{3}}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{2 x^{3} x}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.12

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{3})}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{1 + 3}}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.14

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 4.14.1

Some $1$ e $3$ .

$\frac{2 x^{4}}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.14.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{4}}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.14.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{4}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{x^{4}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})$

Etapa 4.16

Mova $3$ para a esquerda de ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{4}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + 3 \cdot {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$

Etapa 4.17

Combine $\frac{x^{4}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ usando um denominador comum.

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Etapa 4.17.1

Mova ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{4}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.17.2

Para escrever $3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{4}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.17.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.18

Multiplique ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.18.1

Mova ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} ({(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.18.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.18.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.18.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.18.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{1}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.19

Simplifique $3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{1}$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.20

Simplifique.

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Etapa 4.20.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.20.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.20.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.20.2.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.20.2.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{x^{4} + 3 (x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.20.2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2 + 2} + 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.20.2.1.1.3

Some $2$ e $2$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.20.2.1.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{4} + 9 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.20.2.2

Some $x^{4}$ e $3 x^{4}$ .

$\frac{4 x^{4} + 9 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.20.3

Fatore $x^{2}$ de $4 x^{4} + 9 x^{2}$ .

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Etapa 4.20.3.1

Fatore $x^{2}$ de $4 x^{4}$ .

$\frac{x^{2} (4 x^{2}) + 9 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.20.3.2

Fatore $x^{2}$ de $9 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (4 x^{2}) + x^{2} \cdot 9}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.20.3.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (4 x^{2}) + x^{2} \cdot 9$ .

$\frac{x^{2} (4 x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{x^{2} (4 x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (4 x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$