Cálculo Exemplos

$\sum_{i = 1}^{\infty} {(- \frac{1}{2})}^{i}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica infinita pode ser encontrada pela fórmula $\frac{a}{1 - r}$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ e simplificando.

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Etapa 2.1

Substitua $a_{i}$ e $a_{i + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i + 1}}{{(- \frac{1}{2})}^{i}}$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de ${(- \frac{1}{2})}^{i + 1}$ e ${(- \frac{1}{2})}^{i}$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore ${(- \frac{1}{2})}^{i}$ de ${(- \frac{1}{2})}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i} (- \frac{1}{2})}{{(- \frac{1}{2})}^{i}}$

Etapa 2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i} (- \frac{1}{2})}{{(- \frac{1}{2})}^{i} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i} (- \frac{1}{2})}{{(- \frac{1}{2})}^{i} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{- \frac{1}{2}}{1}$

Etapa 2.2.2.4

Divida $- \frac{1}{2}$ por $1$ .

$r = - \frac{1}{2}$

Etapa 3

Como $| r | < 1$ , a série converge.

Etapa 4

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

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Etapa 4.1

Substitua $1$ por $i$ em ${(- \frac{1}{2})}^{i}$ .

$a = {(- \frac{1}{2})}^{1}$

Etapa 4.2

Simplifique.

$a = - \frac{1}{2}$

Etapa 5

Substitua os valores da razão e o primeiro termo na fórmula da soma.

$\frac{- \frac{1}{2}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - - \frac{1}{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $- - \frac{1}{2}$ .

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Etapa 6.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + 1 (\frac{1}{2})}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}$

Etapa 6.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Etapa 6.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 + 1}{2}}$

Etapa 6.2.4

Some $2$ e $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}$

Etapa 6.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{2} (1 (\frac{2}{3}))$

Etapa 6.4

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Etapa 6.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Etapa 6.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Etapa 6.5.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{3}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{3}$

Forma decimal:

$- 0.\overline{3}$