Cálculo Exemplos

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{10^{i}}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica infinita pode ser encontrada pela fórmula $\frac{a}{1 - r}$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ e simplificando.

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Etapa 2.1

Substitua $a_{i}$ e $a_{i + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{\frac{1}{10^{i + 1}}}{\frac{1}{10^{i}}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$r = \frac{1}{10^{i + 1}} \cdot 10^{i}$

Etapa 2.2.2

Combine $\frac{1}{10^{i + 1}}$ e $10^{i}$ .

$r = \frac{10^{i}}{10^{i + 1}}$

Etapa 2.2.3

Cancele o fator comum de $10^{i}$ e $10^{i + 1}$ .

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Etapa 2.2.3.1

Fatore $10^{i + 1}$ de $10^{i}$ .

$r = \frac{10^{i + 1} \cdot 10^{i - (i + 1)}}{10^{i + 1}}$

Etapa 2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.3.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{10^{i + 1} \cdot 10^{i - (i + 1)}}{10^{i + 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{10^{i + 1} \cdot 10^{i - (i + 1)}}{10^{i + 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{10^{i - (i + 1)}}{1}$

Etapa 2.2.3.2.4

Divida $10^{i - (i + 1)}$ por $1$ .

$r = 10^{i - (i + 1)}$

Etapa 2.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r = 10^{i - i - 1 \cdot 1}$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$r = 10^{i - i - 1}$

Etapa 2.2.5

Subtraia $i$ de $i$ .

$r = 10^{0 - 1}$

Etapa 2.2.6

Subtraia $1$ de $0$ .

$r = 10^{- 1}$

Etapa 2.2.7

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{10}$

Etapa 3

Como $| r | < 1$ , a série converge.

Etapa 4

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

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Etapa 4.1

Substitua $1$ por $i$ em $\frac{1}{10^{i}}$ .

$a = \frac{1}{10^{1}}$

Etapa 4.2

Avalie o expoente.

$a = \frac{1}{10}$

Etapa 5

Substitua os valores da razão e o primeiro termo na fórmula da soma.

$\frac{\frac{1}{10}}{1 - \frac{1}{10}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{10}}$

Etapa 6.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{\frac{10}{10} - \frac{1}{10}}$

Etapa 6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{\frac{10 - 1}{10}}$

Etapa 6.2.3

Subtraia $1$ de $10$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{\frac{9}{10}}$

Etapa 6.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{10} (1 (\frac{10}{9}))$

Etapa 6.4

Multiplique $\frac{10}{9}$ por $1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{10}{9}$

Etapa 6.5

Cancele o fator comum de $10$ .

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Etapa 6.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{10}{9}$

Etapa 6.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{9}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{9}$

Forma decimal:

$0.\overline{1}$