Cálculo Exemplos

$\sum_{i = 1}^{9} {(- \frac{1}{4})}^{i}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica finita pode ser encontrada pela fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ e simplificando.

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Etapa 2.1

Substitua $a_{i}$ e $a_{i + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{4})}^{i + 1}}{{(- \frac{1}{4})}^{i}}$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de ${(- \frac{1}{4})}^{i + 1}$ e ${(- \frac{1}{4})}^{i}$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore ${(- \frac{1}{4})}^{i}$ de ${(- \frac{1}{4})}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{4})}^{i} (- \frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{4})}^{i}}$

Etapa 2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{4})}^{i} (- \frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{4})}^{i} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{{(- \frac{1}{4})}^{i} (- \frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{4})}^{i} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{- \frac{1}{4}}{1}$

Etapa 2.2.2.4

Divida $- \frac{1}{4}$ por $1$ .

$r = - \frac{1}{4}$

Etapa 3

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

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Etapa 3.1

Substitua $1$ por $i$ em ${(- \frac{1}{4})}^{i}$ .

$a = {(- \frac{1}{4})}^{1}$

Etapa 3.2

Simplifique.

$a = - \frac{1}{4}$

Etapa 4

Substitua os valores da razão, o primeiro termo e o número de termos na fórmula da soma.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - {(- \frac{1}{4})}^{9}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 5.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - ({(- 1)}^{9} {(\frac{1}{4})}^{9})}{1 - - \frac{1}{4}}$

Etapa 5.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - ({(- 1)}^{9} \frac{1^{9}}{4^{9}})}{1 - - \frac{1}{4}}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{9}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1.2.1

Mova ${(- 1)}^{9}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot - 1 \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Etapa 5.1.2.2

Multiplique ${(- 1)}^{9}$ por $- 1$ .

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Etapa 5.1.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Etapa 5.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + {(- 1)}^{9 + 1} \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Etapa 5.1.2.3

Some $9$ e $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + {(- 1)}^{10} \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Etapa 5.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $10$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + 1 \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Etapa 5.1.4

Multiplique $\frac{1^{9}}{4^{9}}$ por $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Etapa 5.1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \frac{1}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Etapa 5.1.6

Eleve $4$ à potência de $9$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \frac{1}{262144}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Etapa 5.1.7

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262144}{262144} + \frac{1}{262144}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Etapa 5.1.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262144 + 1}{262144}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Etapa 5.1.9

Some $262144$ e $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Etapa 5.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $- - \frac{1}{4}$ .

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Etapa 5.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{1 + 1 (\frac{1}{4})}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{1 + \frac{1}{4}}$

Etapa 5.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}}$

Etapa 5.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{\frac{4 + 1}{4}}$

Etapa 5.2.4

Some $4$ e $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{\frac{5}{4}}$

Etapa 5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{4} (\frac{262145}{262144} \cdot \frac{4}{5})$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $5$ de $262145$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{5 (52429)}{262144} \cdot \frac{4}{5})$

Etapa 5.4.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{4} (\frac{5 \cdot 52429}{262144} \cdot \frac{4}{5})$

Etapa 5.4.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{4} (\frac{52429}{262144} \cdot 4)$

Etapa 5.5

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.5.1

Fatore $4$ de $262144$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{52429}{4 (65536)} \cdot 4)$

Etapa 5.5.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{4} (\frac{52429}{4 \cdot 65536} \cdot 4)$

Etapa 5.5.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{52429}{65536}$

Etapa 5.6

Multiplique $- \frac{1}{4} \cdot \frac{52429}{65536}$ .

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Etapa 5.6.1

Multiplique $\frac{52429}{65536}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{52429}{65536 \cdot 4}$

Etapa 5.6.2

Multiplique $65536$ por $4$ .

$- \frac{52429}{262144}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{52429}{262144}$

Forma decimal:

$- 0.20000076 \dots$