Cálculo Exemplos

$\sum_{i = 3}^{13} {(i - 3)}^{2}$

Etapa 1

Simplifique a soma.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva ${(i - 3)}^{2}$ como $(i - 3) (i - 3)$ .

$(i - 3) (i - 3)$

Etapa 1.2

Expanda $(i - 3) (i - 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$i (i - 3) - 3 (i - 3)$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$i \cdot i + i \cdot - 3 - 3 (i - 3)$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$i \cdot i + i \cdot - 3 - 3 i - 3 \cdot - 3$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Multiplique $i$ por $i$ .

$i^{2} + i \cdot - 3 - 3 i - 3 \cdot - 3$

Etapa 1.3.1.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $i$ .

$i^{2} - 3 \cdot i - 3 i - 3 \cdot - 3$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$i^{2} - 3 i - 3 i + 9$

Etapa 1.3.2

Subtraia $3 i$ de $- 3 i$ .

$i^{2} - 6 i + 9$

Etapa 1.4

Reescreva a soma.

$\sum_{i = 3}^{13} i^{2} - 6 i + 9$

Etapa 2

Divida a soma para tornar o valor inicial de $i$ igual a $1$ .

$\sum_{i = 3}^{13} i^{2} - 6 i + 9 = \sum_{i = 1}^{13} i^{2} - 6 i + 9 - \sum_{i = 1}^{2} i^{2} - 6 i + 9$

Etapa 3

Avalie $\sum_{i = 1}^{13} i^{2} - 6 i + 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Divida a soma em somas menores que se enquadrem nas regras da soma.

$\sum_{k = 1}^{13} i^{2} - 6 i + 9 = \sum_{k = 1}^{13} i^{2} - 6 \sum_{k = 1}^{13} i + \sum_{k = 1}^{13} 9$

Etapa 3.2

Avalie $\sum_{k = 1}^{13} i^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $2$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Etapa 3.2.2

Substitua os valores na fórmula.

$\frac{13 (13 + 1) (2 \cdot 13 + 1)}{6}$

Etapa 3.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1

Some $13$ e $1$ .

$\frac{13 \cdot 14 (2 \cdot 13 + 1)}{6}$

Etapa 3.2.3.1.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.2.1

Multiplique $13$ por $14$ .

$\frac{182 (2 \cdot 13 + 1)}{6}$

Etapa 3.2.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $13$ .

$\frac{182 (26 + 1)}{6}$

Etapa 3.2.3.1.3

Some $26$ e $1$ .

$\frac{182 \cdot 27}{6}$

Etapa 3.2.3.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.2.1

Multiplique $182$ por $27$ .

$\frac{4914}{6}$

Etapa 3.2.3.2.2

Divida $4914$ por $6$ .

$819$

Etapa 3.3

Avalie $6 \sum_{k = 1}^{13} i$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $1$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Etapa 3.3.2

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(- 6) (\frac{13 (13 + 1)}{2})$

Etapa 3.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Some $13$ e $1$ .

$- 6 \frac{13 \cdot 14}{2}$

Etapa 3.3.3.1.2

Multiplique $13$ por $14$ .

$- 6 (\frac{182}{2})$

Etapa 3.3.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Fatore $2$ de $- 6$ .

$2 (- 3) \frac{182}{2}$

Etapa 3.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 3 \frac{182}{2}$

Etapa 3.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- 3 \cdot 182$

Etapa 3.3.3.3

Multiplique $- 3$ por $182$ .

$- 546$

Etapa 3.4

Avalie $\sum_{k = 1}^{13} 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

A fórmula da soma de uma constante é:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Etapa 3.4.2

Substitua os valores na fórmula.

$(9) (13)$

Etapa 3.4.3

Multiplique $9$ por $13$ .

$117$

Etapa 3.5

Adicione os resultados das somas.

$819 - 546 + 117$

Etapa 3.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Subtraia $546$ de $819$ .

$273 + 117$

Etapa 3.6.2

Some $273$ e $117$ .

$390$

Etapa 4

Avalie $\sum_{i = 1}^{2} i^{2} - 6 i + 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Expanda a série para cada valor de $i$ .

$1^{2} - 6 \cdot 1 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$1 - 6 \cdot 1 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Etapa 4.2.2

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$1 - 6 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Etapa 4.2.3

Subtraia $6$ de $1$ .

$- 5 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Etapa 4.2.4

Some $- 5$ e $9$ .

$4 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Etapa 4.2.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 + 4 - 6 \cdot 2 + 9$

Etapa 4.2.6

Multiplique $- 6$ por $2$ .

$4 + 4 - 12 + 9$

Etapa 4.2.7

Subtraia $12$ de $4$ .

$4 - 8 + 9$

Etapa 4.2.8

Some $- 8$ e $9$ .

$4 + 1$

Etapa 4.2.9

Some $4$ e $1$ .

$5$

Etapa 5

Substitua as somas pelos valores encontrados.

$390 - 5$

Etapa 6

Subtraia $5$ de $390$ .

$385$