Cálculo Exemplos

$\sum_{k = 0}^{3} {(- \frac{1}{2})}^{k}$

Etapa 1

Expanda a série para cada valor de $k$ .

${(- \frac{1}{2})}^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

${(- 1)}^{0} {(\frac{1}{2})}^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Etapa 2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

${(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{2^{0}} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Etapa 2.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$1 \frac{1^{0}}{2^{0}} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Etapa 2.1.3

Multiplique $\frac{1^{0}}{2^{0}}$ por $1$ .

$\frac{1^{0}}{2^{0}} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Etapa 2.1.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{2^{0}} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Etapa 2.1.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{1} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Etapa 2.1.6

Divida $1$ por $1$ .

$1 + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Etapa 2.1.7

Simplifique.

$1 - \frac{1}{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Etapa 2.1.8

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 2.1.8.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$1 - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Etapa 2.1.8.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$1 - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Etapa 2.1.9

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 - \frac{1}{2} + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Etapa 2.1.10

Multiplique $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Etapa 2.1.11

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Etapa 2.1.12

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Etapa 2.1.13

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 2.1.13.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}$

Etapa 2.1.13.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}$

Etapa 2.1.14

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1^{3}}{2^{3}}$

Etapa 2.1.15

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2^{3}}$

Etapa 2.1.16

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Etapa 2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 2.2.1

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Etapa 2.2.2

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1}{1} \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Etapa 2.2.3

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{8}{8} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Etapa 2.2.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{8}{8} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4}) + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Etapa 2.2.5

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{8}{8} - \frac{4}{2 \cdot 4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Etapa 2.2.6

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{8} - \frac{4}{2 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{8}$

Etapa 2.2.7

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{8} - \frac{4}{2 \cdot 4} + \frac{2}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

Etapa 2.2.8

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{8}{8} - \frac{4}{8} + \frac{2}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

Etapa 2.2.9

Reordene os fatores de $4 \cdot 2$ .

$\frac{8}{8} - \frac{4}{8} + \frac{2}{2 \cdot 4} - \frac{1}{8}$

Etapa 2.2.10

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{8}{8} - \frac{4}{8} + \frac{2}{8} - \frac{1}{8}$

Etapa 2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{8 - 4 + 2 - 1}{8}$

Etapa 2.4

Subtraia $4$ de $8$ .

$\frac{4 + 2 - 1}{8}$

Etapa 2.5

Some $4$ e $2$ .

$\frac{6 - 1}{8}$

Etapa 2.6

Subtraia $1$ de $6$ .

$\frac{5}{8}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{5}{8}$

Forma decimal:

$0.625$