Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{\sin (x) + y}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\sin (x) + y}$ como ${(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \sin (x) + y$ .

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Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x) + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x) + y$ .

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Etapa 4.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Etapa 4.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Etapa 4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Etapa 4.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Etapa 4.6

Diferencie usando a regra da soma.

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Etapa 4.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Etapa 4.6.2

Combine frações.

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Etapa 4.6.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(\sin (x) + y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(\sin (x) + y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Etapa 4.6.2.2

Mova ${(\sin (x) + y)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Etapa 4.6.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (x) + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 4.7

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 4.8

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (x) + y')$

Etapa 4.9

Reordene os fatores de $\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (x) + y')$ .

$(\cos (x) + y') \frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = (\cos (x) + y') (\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 6

Resolva $y'$ .

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Etapa 6.1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.1.1

Simplifique $(\cos (x) + y') \frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Etapa 6.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y' = \cos (x) \frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} + y' \frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.1.1.2

Combine $\cos (x)$ e $\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} + y' \frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.1.1.3

Combine $y'$ e $\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2

Subtraia $\frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ dos dois lados da equação.

$y' - \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 6.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, 2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}, 2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.3.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 6.3.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 6.3.4

Como $2$ não tem fatores além de $1$ e $2$ .

$2$ é um número primo

Etapa 6.3.5

O MMC de $1, 2, 2$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$2$

Etapa 6.3.6

O fator de $\sin (x) + y$ é o próprio $\sin (x) + y$ .

$(\sin (x) + y) = \sin (x) + y$

$(\sin (x) + y)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 6.3.7

O MMC de ${(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}, {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

${(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.3.8

O mínimo múltiplo comum $LCM$ de alguns números é o menor número do qual os números são fatores.

$2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.4

Multiplique cada termo em $y' - \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ por $2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ para eliminar as frações.

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Etapa 6.4.1

Multiplique cada termo em $y' - \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ por $2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) - \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.4.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.4.2.1.2

Cancele o fator comum de $2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.4.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ para o numerador.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.4.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

Etapa 6.4.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y' = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.4.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y' = 2 \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.4.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.4.3.2.1

Cancele o fator comum.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y' = 2 \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.4.3.2.2

Reescreva a expressão.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y' = \frac{\cos (x)}{{(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.4.3.3

Cancele o fator comum de ${(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y' = \frac{\cos (x)}{{(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.4.3.3.2

Reescreva a expressão.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y' = \cos (x)$

Etapa 6.5

Resolva a equação.

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Etapa 6.5.1

Fatore $y'$ de $2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y'$ .

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Etapa 6.5.1.1

Fatore $y'$ de $2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) - y' = \cos (x)$

Etapa 6.5.1.2

Fatore $y'$ de $- y'$ .

$y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot - 1 = \cos (x)$

Etapa 6.5.1.3

Fatore $y'$ de $y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1) = \cos (x)$

Etapa 6.5.2

Divida cada termo em $y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1) = \cos (x)$ por $2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$ e simplifique.

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Etapa 6.5.2.1

Divida cada termo em $y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1) = \cos (x)$ por $2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$ .

$\frac{y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}$

Etapa 6.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}$

Etapa 6.5.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}$

Etapa 7

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}$