Cálculo Exemplos

$y = \log_{9} (\frac{x^{2}}{10 \sqrt{x + 1}})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \log_{9} (\frac{x^{2}}{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\log_{9} (\frac{x^{2}}{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}))$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \log_{9} (x)$ e $g (x) = \frac{x^{2}}{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\frac{x^{2}}{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{9} (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\log_{9} (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1} \ln (9)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (9)} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{x^{2}}{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \ln (9)} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 4.2

Combine $\frac{x^{2}}{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $\ln (9)$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2} \ln (9)}{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 4.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{x^{2} \ln (9)}{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 \frac{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Multiplique $\frac{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)}$ por $1$ .

$\frac{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 4.4.2

Como $\frac{1}{10}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{2}}{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} (\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}])$

Etapa 4.4.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.3.1

Multiplique $\frac{1}{10}$ por $\frac{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)}$ .

$\frac{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{10 (x^{2} \ln (9))} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 4.4.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{10 x^{2} \ln (9)} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 4.4.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.6

Multiplique os expoentes em ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.6.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x + 1)}^{1}}$

Etapa 4.7

Simplifique.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 1}$

Etapa 4.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 1}$

Etapa 4.8.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 1}$

Etapa 4.9

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x + 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{x + 1}$

Etapa 4.9.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x + 1}$

Etapa 4.9.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x + 1}$

Etapa 4.10

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x + 1}$

Etapa 4.11

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x + 1}$

Etapa 4.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x + 1}$

Etapa 4.13

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.13.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x + 1}$

Etapa 4.13.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x + 1}$

Etapa 4.14

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.14.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x + 1}$

Etapa 4.14.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x + 1}$

Etapa 4.14.3

Mova ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x + 1}$

Etapa 4.14.4

Combine $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{x + 1}$

Etapa 4.15

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{x + 1}$

Etapa 4.16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{x + 1}$

Etapa 4.17

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{x + 1}$

Etapa 4.18

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.18.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{x + 1}$

Etapa 4.18.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Etapa 4.19

Combine $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ e $- \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ usando um denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.19.1

Mova ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Etapa 4.19.2

Para escrever $2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Etapa 4.19.3

Combine $2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Etapa 4.19.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Etapa 4.20

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{\frac{4 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Etapa 4.21

Multiplique ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.21.1

Mova ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{\frac{4 x ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Etapa 4.21.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{\frac{4 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Etapa 4.21.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{\frac{4 x {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Etapa 4.21.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{\frac{4 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Etapa 4.21.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{\frac{4 x {(x + 1)}^{1} - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Etapa 4.22

Simplifique $4 x {(x + 1)}^{1}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Etapa 4.23

Reescreva $\frac{\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$ como um produto.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} (\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x + 1})$

Etapa 4.24

Multiplique $\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1)}$

Etapa 4.25

Eleve $x + 1$ à potência de $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 4.26

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Etapa 4.27

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.27.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Etapa 4.27.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Etapa 4.27.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.28

Multiplique $\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)}$ por $\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 x (x + 1) - x^{2})}{x^{2} \ln (9) (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Etapa 4.29

Mova ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{x^{2} \ln (9) (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}) {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

Etapa 4.30

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.30.1

Multiplique ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ por ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.30.1.1

Mova ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{x^{2} \ln (9) (2 ({(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}))}$

Etapa 4.30.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{x^{2} \ln (9) (2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}})}$

Etapa 4.30.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{x^{2} \ln (9) (2 {(x + 1)}^{\frac{- 1 + 3}{2}})}$

Etapa 4.30.1.4

Some $- 1$ e $3$ .

$\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{x^{2} \ln (9) (2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})}$

Etapa 4.30.1.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{x^{2} \ln (9) (2 {(x + 1)}^{1})}$

Etapa 4.30.2

Simplifique $x^{2} \ln (9) (2 {(x + 1)}^{1})$ .

$\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{x^{2} \ln (9) (2 (x + 1))}$

Etapa 4.31

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.31.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot 1 - x^{2}}{x^{2} \ln (9) (2 (x + 1))}$

Etapa 4.31.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot 1 - x^{2}}{x^{2} \ln (9) (2 x + 2 \cdot 1)}$

Etapa 4.31.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot 1 - x^{2}}{x^{2} \ln (9) (2 x) + x^{2} \ln (9) (2 \cdot 1)}$

Etapa 4.31.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.31.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.31.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.31.4.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 1 - x^{2}}{x^{2} \ln (9) (2 x) + x^{2} \ln (9) (2 \cdot 1)}$

Etapa 4.31.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 x \cdot 1 - x^{2}}{x^{2} \ln (9) (2 x) + x^{2} \ln (9) (2 \cdot 1)}$

Etapa 4.31.4.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 x - x^{2}}{x^{2} \ln (9) (2 x) + x^{2} \ln (9) (2 \cdot 1)}$

Etapa 4.31.4.2

Subtraia $x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} + 4 x}{x^{2} \ln (9) (2 x) + x^{2} \ln (9) (2 \cdot 1)}$

Etapa 4.31.5

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.31.5.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 x^{2} + 4 x}{x^{1} x^{2} \ln (9) \cdot 2 + x^{2} \ln (9) (2 \cdot 1)}$

Etapa 4.31.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x^{2} + 4 x}{x^{1 + 2} \ln (9) \cdot 2 + x^{2} \ln (9) (2 \cdot 1)}$

Etapa 4.31.5.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{3 x^{2} + 4 x}{x^{3} \ln (9) \cdot 2 + x^{2} \ln (9) (2 \cdot 1)}$

Etapa 4.31.5.4

Mova $2$ para a esquerda de $x^{3} \ln (9)$ .

$\frac{3 x^{2} + 4 x}{2 \cdot (x^{3} \ln (9)) + x^{2} \ln (9) (2 \cdot 1)}$

Etapa 4.31.5.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2} + 4 x}{2 x^{3} \ln (9) + x^{2} \ln (9) \cdot 2}$

Etapa 4.31.5.6

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} \ln (9)$ .

$\frac{3 x^{2} + 4 x}{2 x^{3} \ln (9) + 2 x^{2} \ln (9)}$

Etapa 4.31.6

Fatore $x$ de $3 x^{2} + 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.31.6.1

Fatore $x$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{x (3 x) + 4 x}{2 x^{3} \ln (9) + 2 x^{2} \ln (9)}$

Etapa 4.31.6.2

Fatore $x$ de $4 x$ .

$\frac{x (3 x) + x \cdot 4}{2 x^{3} \ln (9) + 2 x^{2} \ln (9)}$

Etapa 4.31.6.3

Fatore $x$ de $x (3 x) + x \cdot 4$ .

$\frac{x (3 x + 4)}{2 x^{3} \ln (9) + 2 x^{2} \ln (9)}$

Etapa 4.31.7

Fatore $2 x^{2} \ln (9)$ de $2 x^{3} \ln (9) + 2 x^{2} \ln (9)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.31.7.1

Fatore $2 x^{2} \ln (9)$ de $2 x^{3} \ln (9)$ .

$\frac{x (3 x + 4)}{2 x^{2} \ln (9) (x) + 2 x^{2} \ln (9)}$

Etapa 4.31.7.2

Fatore $2 x^{2} \ln (9)$ de $2 x^{2} \ln (9)$ .

$\frac{x (3 x + 4)}{2 x^{2} \ln (9) (x) + 2 x^{2} \ln (9) (1)}$

Etapa 4.31.7.3

Fatore $2 x^{2} \ln (9)$ de $2 x^{2} \ln (9) (x) + 2 x^{2} \ln (9) (1)$ .

$\frac{x (3 x + 4)}{2 x^{2} \ln (9) (x + 1)}$

Etapa 4.31.8

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.31.8.1

Fatore $x$ de $2 x^{2} \ln (9) (x + 1)$ .

$\frac{x (3 x + 4)}{x (2 x \ln (9) (x + 1))}$

Etapa 4.31.8.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (3 x + 4)}{x (2 x \ln (9) (x + 1))}$

Etapa 4.31.8.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x + 4}{2 x \ln (9) (x + 1)}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{3 x + 4}{2 x \ln (9) (x + 1)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x + 4}{2 x \ln (9) (x + 1)}$