Cálculo Exemplos

$y = \frac{e^{3 x} + e^{- 3 x}}{x}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{3 x} + e^{- 3 x}}{x})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{3 x} + e^{- 3 x}$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{3 x} + e^{- 3 x}] - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{3 x} + e^{- 3 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $3 x$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x$ .

$\frac{x (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.4

Diferencie.

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Etapa 3.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x (e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.3.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{x (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.4.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$\frac{x (3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 3 x$ .

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Etapa 3.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- 3 x$ .

$\frac{x (3 e^{3 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.5.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{x (3 e^{3 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 3 x$ .

$\frac{x (3 e^{3 x} + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.6

Diferencie.

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Etapa 3.6.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (3 e^{3 x} + e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x (3 e^{3 x} + e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.6.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.3.1

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{x (3 e^{3 x} + e^{- 3 x} \cdot - 3) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.6.3.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $e^{- 3 x}$ .

$\frac{x (3 e^{3 x} - 3 \cdot e^{- 3 x}) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.6.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x (3 e^{3 x} - 3 e^{- 3 x}) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 3.6.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x (3 e^{3 x} - 3 e^{- 3 x}) - (e^{3 x} + e^{- 3 x})}{x^{2}}$

Etapa 3.7

Simplifique.

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Etapa 3.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (3 e^{3 x}) + x (- 3 e^{- 3 x}) - (e^{3 x} + e^{- 3 x})}{x^{2}}$

Etapa 3.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (3 e^{3 x}) + x (- 3 e^{- 3 x}) - e^{3 x} - e^{- 3 x}}{x^{2}}$

Etapa 3.7.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.7.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 x e^{3 x} + x (- 3 e^{- 3 x}) - e^{3 x} - e^{- 3 x}}{x^{2}}$

Etapa 3.7.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 x e^{3 x} - 3 x e^{- 3 x} - e^{3 x} - e^{- 3 x}}{x^{2}}$

Etapa 3.7.4

Reordene os termos.

$\frac{3 e^{3 x} x - 3 e^{- 3 x} x - e^{3 x} - e^{- 3 x}}{x^{2}}$

Etapa 3.7.5

Reordene os fatores em $\frac{3 e^{3 x} x - 3 e^{- 3 x} x - e^{3 x} - e^{- 3 x}}{x^{2}}$ .

$\frac{3 x e^{3 x} - 3 x e^{- 3 x} - e^{3 x} - e^{- 3 x}}{x^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{3 x e^{3 x} - 3 x e^{- 3 x} - e^{3 x} - e^{- 3 x}}{x^{2}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x e^{3 x} - 3 x e^{- 3 x} - e^{3 x} - e^{- 3 x}}{x^{2}}$