Cálculo Exemplos

$y = 4^{4 x^{4}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (4^{4 x^{4}})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = 4^{x}$ e $g (x) = 4 x^{4}$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x^{4}$ .

$\frac{d}{d u} [4^{u}] \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $4$ .

$4^{u} \ln (4) \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x^{4}$ .

$4^{4 x^{4}} \ln (4) \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$

Etapa 3.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{4}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4^{4 x^{4}} \ln (4) (4 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 3.3

Eleve $4$ à potência de $1$ .

$4^{1} \cdot 4^{4 x^{4}} \ln (4) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4^{1 + 4 x^{4}} \ln (4) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4^{1 + 4 x^{4}} \ln (4) (4 x^{3})$

Etapa 3.6

Eleve $4$ à potência de $1$ .

$4^{1} \cdot 4^{1 + 4 x^{4}} \ln (4) x^{3}$

Etapa 3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4^{1 + 1 + 4 x^{4}} \ln (4) x^{3}$

Etapa 3.8

Some $1$ e $1$ .

$4^{2 + 4 x^{4}} \ln (4) x^{3}$

Etapa 3.9

Reordene os fatores de $4^{2 + 4 x^{4}} \ln (4) x^{3}$ .

$4^{2 + 4 x^{4}} x^{3} \ln (4)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 4^{2 + 4 x^{4}} x^{3} \ln (4)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4^{2 + 4 x^{4}} x^{3} \ln (4)$