Cálculo Exemplos

$y = 6 x^{2} \sin (x) + 12 x \cos (x) - 12 \sin (x)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (6 x^{2} \sin (x) + 12 x \cos (x) - 12 \sin (x))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{2} \sin (x) + 12 x \cos (x) - 12 \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2} \sin (x)]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2} \sin (x)$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$6 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Etapa 3.2.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x \cos (x)]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x \cos (x)$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Etapa 3.3.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Etapa 3.3.5

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 12 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.4.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 12 \cos (x)$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 (x^{2} \cos (x)) + 6 (\sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 12 \cos (x)$

Etapa 3.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$6 (x^{2} \cos (x)) + 6 (\sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x))) + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

Etapa 3.5.3

Combine os termos.

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Etapa 3.5.3.1

Multiplique $2$ por $6$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 12 (\sin (x) (x)) + 12 (x (- \sin (x))) + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

Etapa 3.5.3.2

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 12 \sin (x) x - 12 (x (\sin (x))) + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

Etapa 3.5.3.3

Subtraia $12 x \sin (x)$ de $12 \sin (x) x$ .

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Etapa 3.5.3.3.1

Mova $\sin (x)$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 12 x \sin (x) - 12 x \sin (x) + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

Etapa 3.5.3.3.2

Subtraia $12 x \sin (x)$ de $12 x \sin (x)$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 0 + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

Etapa 3.5.3.4

Some $6 x^{2} \cos (x)$ e $0$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

Etapa 3.5.3.5

Subtraia $12 \cos (x)$ de $12 \cos (x)$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 0$

Etapa 3.5.3.6

Some $6 x^{2} \cos (x)$ e $0$ .

$6 x^{2} \cos (x)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 6 x^{2} \cos (x)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} \cos (x)$