Cálculo Exemplos

$y = \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 3.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 3.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 3.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$2 \cos (x) (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

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Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\sin (x)$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (x)$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$

Etapa 3.4

Combine os termos.

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Etapa 3.4.1

Reordene os fatores de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 3.4.2

Some $- 2 \cos (x) \sin (x)$ e $2 \cos (x) \sin (x)$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 0$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 0$