Cálculo Exemplos

$y^{3} = e^{x} \ln (x^{2} - 1)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y^{3}) = \frac{d}{d x} (e^{x} \ln (x^{2} - 1))$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \ln (x^{2} - 1)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} - 1)] + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 1$ .

$e^{x} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$e^{x} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 1$ .

$e^{x} (\frac{1}{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Combine $\frac{1}{x^{2} - 1}$ e $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{e^{x}}{x^{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{e^{x}}{x^{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{e^{x}}{x^{2} - 1} (2 x + 0) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3.3.5

Combine frações.

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Etapa 3.3.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{e^{x}}{x^{2} - 1} (2 x) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3.3.5.2

Combine $2$ e $\frac{e^{x}}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{2 e^{x}}{x^{2} - 1} x + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3.3.5.3

Combine $\frac{2 e^{x}}{x^{2} - 1}$ e $x$ .

$\frac{2 e^{x} x}{x^{2} - 1} + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{2 e^{x} x}{x^{2} - 1} + \ln (x^{2} - 1) e^{x}$

Etapa 3.5

Para escrever $\ln (x^{2} - 1) e^{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{2 e^{x} x}{x^{2} - 1} + \frac{\ln (x^{2} - 1) e^{x} (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 e^{x} x + \ln (x^{2} - 1) e^{x} (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.7

Simplifique.

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Etapa 3.7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.7.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 e^{x} x + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} + \ln (x^{2} - 1) e^{x} \cdot - 1}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.7.1.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $\ln (x^{2} - 1) e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x} x + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} - 1 \cdot (\ln (x^{2} - 1) e^{x})}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.7.1.1.3

Reescreva $- 1 (\ln (x^{2} - 1) e^{x})$ como $- (\ln (x^{2} - 1) e^{x})$ .

$\frac{2 e^{x} x + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} - \ln (x^{2} - 1) e^{x}}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.7.1.2

Reordene os fatores em $2 e^{x} x + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} - \ln (x^{2} - 1) e^{x}$ .

$\frac{2 x e^{x} + x^{2} e^{x} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.7.2

Reordene os termos.

$\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 y^{2} y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

Etapa 5

Divida cada termo em $3 y^{2} y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$ por $3 y^{2}$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $3 y^{2} y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$ por $3 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}}{3 y^{2}}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}}{3 y^{2}}$

Etapa 5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}}{3 y^{2}}$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}}{3 y^{2}}$

Etapa 5.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}}{3 y^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1} \cdot \frac{1}{3 y^{2}}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1^{2}} \cdot \frac{1}{3 y^{2}}$

Etapa 5.3.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{3 y^{2}}$

Etapa 5.3.3

Combine frações.

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Etapa 5.3.3.1

Multiplique $\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ por $\frac{1}{3 y^{2}}$ .

$y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x - 1) (3 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.2

Reordene.

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Etapa 5.3.3.2.1

Mova $3$ para a esquerda de $(x + 1) (x - 1)$ .

$y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{3 \cdot ((x + 1) (x - 1)) y^{2}}$

Etapa 5.3.3.2.2

Reordene os fatores em $\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{3 (x + 1) (x - 1) y^{2}}$ .

$y' = \frac{2 x e^{x} + x^{2} \ln (x^{2} - 1) e^{x} - \ln (x^{2} - 1) e^{x}}{3 y^{2} (x + 1) (x - 1)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x e^{x} + x^{2} \ln (x^{2} - 1) e^{x} - \ln (x^{2} - 1) e^{x}}{3 y^{2} (x + 1) (x - 1)}$