Cálculo Exemplos

$x + \tan (x y) = 0$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x + \tan (x y)) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \tan (x y)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x y)]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\tan (x y)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\tan (x y)]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = x y$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$1 + \frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.2.1.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$1 + \sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$1 + \sec^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$1 + \sec^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 + \sec^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \sec^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Etapa 2.2.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$1 + \sec^{2} (x y) (x y' + y)$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 + \sec^{2} (x y) (x y') + \sec^{2} (x y) y$

Etapa 2.3.2

Reordene os termos.

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y) + 1$

Etapa 3

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y) + 1 = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Reordene os fatores em $x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y) + 1$ .

$x y' \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) + 1 = 0$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $y \sec^{2} (x y)$ dos dois lados da equação.

$x y' \sec^{2} (x y) + 1 = - y \sec^{2} (x y)$

Etapa 5.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x y' \sec^{2} (x y) = - y \sec^{2} (x y) - 1$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $x y' \sec^{2} (x y) = - y \sec^{2} (x y) - 1$ por $x \sec^{2} (x y)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $x y' \sec^{2} (x y) = - y \sec^{2} (x y) - 1$ por $x \sec^{2} (x y)$ .

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (x y)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (x y)}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (x y)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $\sec^{2} (x y)$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (x y)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (x y)}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $\sec^{2} (x y)$ .

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Etapa 5.3.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (x y)}$

Etapa 5.3.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (x y)}$

Etapa 5.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (x y)}$

Etapa 5.3.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y}{x} - \frac{1}{x \sec^{2} (x y)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} - \frac{1}{x \sec^{2} (x y)}$