Cálculo Exemplos

$y = \frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Fatore $x^{2}$ de $3 x^{3} + 2 x^{2}$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $x^{2}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (3 x) + 2 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 4.1.2

Fatore $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 2}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 4.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 4.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (3 x + 2) x^{- \frac{1}{2}}]$

Etapa 4.3

Multiplique $x^{2}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.1

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} x^{2} (3 x + 2)]$

Etapa 4.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + 2} (3 x + 2)]$

Etapa 4.3.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} (3 x + 2)]$

Etapa 4.3.4

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} (3 x + 2)]$

Etapa 4.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} (3 x + 2)]$

Etapa 4.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1 + 4}{2}} (3 x + 2)]$

Etapa 4.3.6.2

Some $- 1$ e $4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} (3 x + 2)]$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ e $g (x) = 3 x + 2$ .

$x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 2] + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 4.5

Diferencie.

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Etapa 4.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 4.5.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{3}{2}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 4.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{\frac{3}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 4.5.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} (3 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 4.5.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{\frac{3}{2}} (3 + 0) + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 4.5.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.5.6.1

Some $3$ e $0$ .

$x^{\frac{3}{2}} \cdot 3 + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 4.5.6.2

Mova $3$ para a esquerda de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 \cdot x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 4.5.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Etapa 4.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 4.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 4.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 4.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Etapa 4.9.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 4.10

Combine $\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 4.11

Simplifique.

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Etapa 4.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{\frac{3}{2}} + 3 x \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 4.11.2

Combine os termos.

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Etapa 4.11.2.1

Combine $3$ e $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + x \frac{3 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 4.11.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + x \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 4.11.2.3

Combine $x$ e $\frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x (9 x^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 4.11.2.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 4.11.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 4.11.2.6

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 4.11.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 4.11.2.8

Some $2$ e $1$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 4.11.2.9

Combine $2$ e $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Etapa 4.11.2.10

Multiplique $3$ por $2$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 4.11.2.11

Fatore $2$ de $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Etapa 4.11.2.12

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.11.2.12.1

Fatore $2$ de $2$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Etapa 4.11.2.12.2

Cancele o fator comum.

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.11.2.12.3

Reescreva a expressão.

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{1}$

Etapa 4.11.2.12.4

Divida $3 x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.11.2.13

Para escrever $3 x^{\frac{3}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.11.2.14

Combine $3 x^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.11.2.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.11.2.16

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6 x^{\frac{3}{2}} + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.11.2.17

Some $6 x^{\frac{3}{2}}$ e $9 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.11.3

Reordene os termos.

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$