Cálculo Exemplos

$y = \frac{2 x^{2} - x}{x^{3} + 1}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x^{2} - x}{x^{3} + 1})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 2 x^{2} - x$ e $g (x) = x^{3} + 1$ .

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x] - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x + \frac{d}{d x} [- x]) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - \frac{d}{d x} [x]) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1 \cdot 1) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - (2 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - (2 x^{2} - x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.10

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - (2 x^{2} - x) (3 x^{2} + 0)}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.11.1

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - (2 x^{2} - x) (3 x^{2})}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.11.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - 3 (2 x^{2} - x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) + (- 3 (2 x^{2}) - 3 (- x)) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.3.1.1

Expanda $(x^{3} + 1) (4 x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} (4 x - 1) + 1 (4 x - 1) - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} (4 x) + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x - 1) - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} (4 x) + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.3.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{4 x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.3.1.2.2.1

Mova $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.2.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

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Etapa 3.3.3.1.2.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{4 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.2.3

Some $1$ e $3$ .

$\frac{4 x^{4} + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{4} - 1 \cdot x^{3} + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.4

Reescreva $- 1 x^{3}$ como $- x^{3}$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.5

Multiplique $4 x$ por $1$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.3.1.3.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 3 (2 (x^{2} x^{2})) - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 3 (2 x^{2 + 2}) - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.3.3

Some $2$ e $2$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 3 (2 x^{4}) - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.4

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 6 x^{4} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.5

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.3.1.5.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 6 x^{4} - 3 (- (x^{2} x))}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.5.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.3.3.1.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 6 x^{4} - 3 (- (x^{2} x^{1}))}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 6 x^{4} - 3 (- x^{2 + 1})}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.5.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 6 x^{4} - 3 (- x^{3})}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 6 x^{4} + 3 x^{3}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.2

Subtraia $6 x^{4}$ de $4 x^{4}$ .

$\frac{- 2 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 + 3 x^{3}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.3

Some $- x^{3}$ e $3 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.3.4.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{(x^{3} + 1^{3})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{- 2 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}))}^{2}}$

Etapa 3.3.4.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 2 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}))}^{2}}$

Etapa 3.3.4.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{- 2 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{((x + 1) (x^{2} - x + 1))}^{2}}$

Etapa 3.3.4.4

Aplique a regra do produto a $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

$\frac{- 2 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.5

Fatore $- 1$ de $- 2 x^{4}$ .

$\frac{- (2 x^{4}) + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.6

Fatore $- 1$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{- (2 x^{4}) - (- 2 x^{3}) + 4 x - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.7

Fatore $- 1$ de $- (2 x^{4}) - (- 2 x^{3})$ .

$\frac{- (2 x^{4} - 2 x^{3}) + 4 x - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.8

Fatore $- 1$ de $4 x$ .

$\frac{- (2 x^{4} - 2 x^{3}) - (- 4 x) - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.9

Fatore $- 1$ de $- (2 x^{4} - 2 x^{3}) - (- 4 x)$ .

$\frac{- (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x) - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.10

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x) - 1 (1)}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.11

Fatore $- 1$ de $- (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.12

Reescreva $- (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1)$ como $- 1 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - \frac{2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$