Cálculo Exemplos

$x^{2} (x - y) = y^{2} (x + y)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} (x - y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} (x + y))$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [x - y] + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- y]) + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$x^{2} (1 - \frac{d}{d x} [y]) + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} (1 - y') + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (1 - y') + (x - y) (2 x)$

Etapa 2.5

Mova $2$ para a esquerda de $x - y$ .

$x^{2} (1 - y') + 2 \cdot (x - y) x$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- y') + 2 (x - y) x$

Etapa 2.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- y') + (2 x + 2 (- y)) x$

Etapa 2.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- y') + 2 x \cdot x + 2 (- y) x$

Etapa 2.6.4

Combine os termos.

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Etapa 2.6.4.1

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 x \cdot x + 2 (- y) x$

Etapa 2.6.4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 (x^{1} x) + 2 (- y) x$

Etapa 2.6.4.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 (- y) x$

Etapa 2.6.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 x^{1 + 1} + 2 (- y) x$

Etapa 2.6.4.5

Some $1$ e $1$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 x^{2} + 2 (- y) x$

Etapa 2.6.4.6

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 x^{2} - 2 y x$

Etapa 2.6.4.7

Some $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} + x^{2} (- y') - 2 y x$

Etapa 2.6.5

Reordene os termos.

$3 x^{2} - x^{2} y' - 2 x y$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = y^{2}$ e $g (x) = x + y$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x + y] + (x + y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y^{2} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y^{2} (1 + y') + (x + y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$y^{2} (1 + y') + (x + y) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y^{2} (1 + y') + (x + y) (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$y^{2} (1 + y') + (x + y) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.5

Mova $2$ para a esquerda de $x + y$ .

$y^{2} (1 + y') + 2 \cdot (x + y) y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.6

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y^{2} (1 + y') + 2 (x + y) y y'$

Etapa 3.7

Simplifique.

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Etapa 3.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} y' + 2 (x + y) y y'$

Etapa 3.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} y' + (2 x + 2 y) y y'$

Etapa 3.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} y' + (2 x y + 2 y \cdot y) y'$

Etapa 3.7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 y \cdot y y'$

Etapa 3.7.5

Combine os termos.

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Etapa 3.7.5.1

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 y \cdot y y'$

Etapa 3.7.5.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 (y^{1} y) y'$

Etapa 3.7.5.3

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 (y^{1} y^{1}) y'$

Etapa 3.7.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 y^{1 + 1} y'$

Etapa 3.7.5.5

Some $1$ e $1$ .

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 y^{2} y'$

Etapa 3.7.5.6

Some $y^{2} y'$ e $2 y^{2} y'$ .

$y^{2} + 3 y^{2} y' + 2 x y y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 x^{2} - x^{2} y' - 2 x y = y^{2} + 3 y^{2} y' + 2 x y y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Como $y'$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$y^{2} + 3 y^{2} y' + 2 x y y' = 3 x^{2} - x^{2} y' - 2 x y$

Etapa 5.2

Some $x^{2} y'$ aos dois lados da equação.

$y^{2} + 3 y^{2} y' + 2 x y y' + x^{2} y' = 3 x^{2} - 2 x y$

Etapa 5.3

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$3 y^{2} y' + 2 x y y' + x^{2} y' = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Etapa 5.4

Fatore $y'$ de $3 y^{2} y' + 2 x y y' + x^{2} y'$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + 2 x y y' + x^{2} y' = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Etapa 5.4.2

Fatore $y'$ de $2 x y y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (2 x y) + x^{2} y' = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Etapa 5.4.3

Fatore $y'$ de $x^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (2 x y) + y' (x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Etapa 5.4.4

Fatore $y'$ de $y' (3 y^{2}) + y' (2 x y)$ .

$y' (3 y^{2} + 2 x y) + y' (x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Etapa 5.4.5

Fatore $y'$ de $y' (3 y^{2} + 2 x y) + y' (x^{2})$ .

$y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$ por $3 y^{2} + 2 x y + x^{2}$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$ por $3 y^{2} + 2 x y + x^{2}$ .

$\frac{y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2})}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $3 y^{2} + 2 x y + x^{2}$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2})}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} - \frac{(2) x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Etapa 5.5.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} - \frac{2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} - \frac{y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Etapa 5.5.3.2

Combine em uma fração.

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Etapa 5.5.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} - \frac{y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Etapa 5.5.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Etapa 5.5.3.3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 5.5.3.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ e cuja soma é $b = - 2$ .

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Etapa 5.5.3.3.1.1

Reordene os termos.

$y' = \frac{3 x^{2} - y^{2} - 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Etapa 5.5.3.3.1.2

Reordene $- y^{2}$ e $- 2 x y$ .

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Etapa 5.5.3.3.1.3

Fatore $- 2$ de $- 2 x y$ .

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 (x y) - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Etapa 5.5.3.3.1.4

Reescreva $- 2$ como $1$ mais $- 3$

$y' = \frac{3 x^{2} + (1 - 3) (x y) - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Etapa 5.5.3.3.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$y' = \frac{3 x^{2} + 1 (x y) - 3 (x y) - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Etapa 5.5.3.3.1.6

Multiplique $x y$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2} + x y - 3 (x y) - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Etapa 5.5.3.3.1.7

Mova os parênteses.

$y' = \frac{3 x^{2} + x y - 3 x y - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Etapa 5.5.3.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.5.3.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$y' = \frac{(3 x^{2} + x y) - 3 x y - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Etapa 5.5.3.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$y' = \frac{x (3 x + y) - y (3 x + y)}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Etapa 5.5.3.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x + y$ .

$y' = \frac{(3 x + y) (x - y)}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(3 x + y) (x - y)}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$