Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{x + 2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{1}{x + 2})$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ é $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , em que $f (y) = 1$ e $g (y) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 0 - \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.3.1

Multiplique $x + 2$ por $0$ .

$\frac{0 - \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.3.2

Subtraia $\frac{d}{d y} [x + 2]$ de $0$ .

$\frac{- \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{\frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$- \frac{\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$- \frac{x' + \frac{d}{d y} [2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.4

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2$ em relação a $y$ é $0$ .

$- \frac{x' + 0}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.5

Some $x'$ e $0$ .

$- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = - \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = 1$ .

$- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = 1$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 5.2.2.2

Divida $\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}}$ por $1$ .

$\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = - 1$

Etapa 5.3

Multiplique os dois lados por ${(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = - {(x + 2)}^{2}$

Etapa 5.4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.1

Cancele o fator comum de ${(x + 2)}^{2}$ .

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Etapa 5.4.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = - {(x + 2)}^{2}$

Etapa 5.4.1.2

Reescreva a expressão.

$x' = - {(x + 2)}^{2}$

Etapa 5.5

Simplifique $- {(x + 2)}^{2}$ .

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Etapa 5.5.1

Reescreva ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$x' = - ((x + 2) (x + 2))$

Etapa 5.5.2

Expanda $(x + 2) (x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x' = - (x (x + 2) + 2 (x + 2))$

Etapa 5.5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x' = - (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))$

Etapa 5.5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x' = - (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

Etapa 5.5.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x' = - (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

Etapa 5.5.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$x' = - (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)$

Etapa 5.5.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$x' = - (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)$

Etapa 5.5.3.2

Some $2 x$ e $2 x$ .

$x' = - (x^{2} + 4 x + 4)$

Etapa 5.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$x' = - x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 4$

Etapa 5.5.5

Simplifique.

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Etapa 5.5.5.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$x' = - x^{2} - 4 x - 1 \cdot 4$

Etapa 5.5.5.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$x' = - x^{2} - 4 x - 4$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - x^{2} - 4 x - 4$