Cálculo Exemplos

$\sum_{k = 1}^{3} \frac{1}{k^{2} + 4}$

Etapa 1

Expanda a série para cada valor de $k$ .

$\frac{1}{1^{2} + 4} + \frac{1}{2^{2} + 4} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Encontre o denominador comum.

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Etapa 2.1.1

Multiplique $\frac{1}{1^{2} + 4}$ por $\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$ .

$\frac{1}{1^{2} + 4} \cdot \frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{1}{2^{2} + 4} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $\frac{1}{1^{2} + 4}$ por $\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$ .

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{1}{2^{2} + 4} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

Etapa 2.1.3

Multiplique $\frac{1}{2^{2} + 4}$ por $\frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$ .

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{1}{2^{2} + 4} \cdot \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

Etapa 2.1.4

Multiplique $\frac{1}{2^{2} + 4}$ por $\frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$ .

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

Etapa 2.1.5

Multiplique $\frac{1}{3^{2} + 4}$ por $\frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}$ .

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{1}{3^{2} + 4} \cdot \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}$

Etapa 2.1.6

Multiplique $\frac{1}{3^{2} + 4}$ por $\frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}$ .

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(3^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (2^{2} + 4))}$

Etapa 2.1.7

Reordene os fatores de $(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))$ .

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(3^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (2^{2} + 4))}$

Etapa 2.1.8

Reordene os fatores de $(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))$ .

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(3^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (2^{2} + 4))}$

Etapa 2.1.9

Reordene os fatores de $(3^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (2^{2} + 4))$ .

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Etapa 2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Etapa 2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{(4 + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Etapa 2.3.2

Some $4$ e $4$ .

$\frac{8 (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Etapa 2.3.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{8 (9 + 4) + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Etapa 2.3.4

Some $9$ e $4$ .

$\frac{8 \cdot 13 + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Etapa 2.3.5

Multiplique $8$ por $13$ .

$\frac{104 + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Etapa 2.3.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{104 + (1 + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Etapa 2.3.7

Some $1$ e $4$ .

$\frac{104 + 5 (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Etapa 2.3.8

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{104 + 5 (9 + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Etapa 2.3.9

Some $9$ e $4$ .

$\frac{104 + 5 \cdot 13 + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Etapa 2.3.10

Multiplique $5$ por $13$ .

$\frac{104 + 65 + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Etapa 2.3.11

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{104 + 65 + (1 + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Etapa 2.3.12

Some $1$ e $4$ .

$\frac{104 + 65 + 5 (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Etapa 2.3.13

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{104 + 65 + 5 (4 + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Etapa 2.3.14

Some $4$ e $4$ .

$\frac{104 + 65 + 5 \cdot 8}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Etapa 2.3.15

Multiplique $5$ por $8$ .

$\frac{104 + 65 + 40}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Etapa 2.4

Some $104$ e $65$ .

$\frac{169 + 40}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Etapa 2.5

Some $169$ e $40$ .

$\frac{209}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Etapa 2.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.6.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{209}{(1 + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Etapa 2.6.2

Some $1$ e $4$ .

$\frac{209}{5 (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Etapa 2.6.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{209}{5 (4 + 4) (3^{2} + 4)}$

Etapa 2.6.4

Some $4$ e $4$ .

$\frac{209}{5 \cdot 8 (3^{2} + 4)}$

Etapa 2.6.5

Multiplique $5$ por $8$ .

$\frac{209}{40 (3^{2} + 4)}$

Etapa 2.6.6

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{209}{40 (9 + 4)}$

Etapa 2.6.7

Some $9$ e $4$ .

$\frac{209}{40 \cdot 13}$

Etapa 2.7

Multiplique $40$ por $13$ .

$\frac{209}{520}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{209}{520}$

Forma decimal:

$0.40192307 \dots$