Cálculo Exemplos

$\sum_{k = 5}^{13} \frac{5 - 2 k}{8}$

Etapa 1

Divida a soma para tornar o valor inicial de $k$ igual a $1$ .

$\sum_{k = 5}^{13} \frac{5}{8} - \frac{k}{4} = \sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8} - \frac{k}{4} - \sum_{k = 1}^{4} \frac{5}{8} - \frac{k}{4}$

Etapa 2

Avalie $\sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8} - \frac{k}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida a soma em somas menores que se enquadrem nas regras da soma.

$\sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8} - \frac{k}{4} = \sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8} + \sum_{k = 1}^{13} - \frac{k}{4}$

Etapa 2.2

Avalie $\sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

A fórmula da soma de uma constante é:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Etapa 2.2.2

Substitua os valores na fórmula.

$(\frac{5}{8}) (13)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $(\frac{5}{8}) (13)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Combine $\frac{5}{8}$ e $13$ .

$\frac{5 \cdot 13}{8}$

Etapa 2.2.3.2

Multiplique $5$ por $13$ .

$\frac{65}{8}$

Etapa 2.3

Avalie $\sum_{k = 1}^{13} - \frac{k}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Fatore $- \frac{1}{4}$ da soma.

$(- \frac{1}{4}) \sum_{k = 1}^{13} k$

Etapa 2.3.2

A fórmula da soma de um polinômio com grau $1$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Etapa 2.3.3

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(- \frac{1}{4}) (\frac{13 (13 + 1)}{2})$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1.1

Some $13$ e $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{13 \cdot 14}{2}$

Etapa 2.3.4.1.2

Multiplique $13$ por $14$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{182}{2}$

Etapa 2.3.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{4}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{4} \cdot \frac{182}{2}$

Etapa 2.3.4.2.2

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{- 1}{2 (2)} \cdot \frac{182}{2}$

Etapa 2.3.4.2.3

Fatore $2$ de $182$ .

$\frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 91}{2}$

Etapa 2.3.4.2.4

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 91}{2}$

Etapa 2.3.4.2.5

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{91}{2}$

Etapa 2.3.4.3

Multiplique $\frac{- 1}{2}$ por $\frac{91}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 91}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.3.4.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.4.1

Multiplique $- 1$ por $91$ .

$\frac{- 91}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.3.4.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{- 91}{4}$

Etapa 2.3.4.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{91}{4}$

Etapa 2.4

Adicione os resultados das somas.

$\frac{65}{8} - \frac{91}{4}$

Etapa 2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Para escrever $- \frac{91}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{65}{8} - \frac{91}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 2.5.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Multiplique $\frac{91}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{65}{8} - \frac{91 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Etapa 2.5.2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{65}{8} - \frac{91 \cdot 2}{8}$

Etapa 2.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{65 - 91 \cdot 2}{8}$

Etapa 2.5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1

Multiplique $- 91$ por $2$ .

$\frac{65 - 182}{8}$

Etapa 2.5.4.2

Subtraia $182$ de $65$ .

$\frac{- 117}{8}$

Etapa 2.5.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{117}{8}$

Etapa 3

Avalie $\sum_{k = 1}^{4} \frac{5}{8} - \frac{k}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Expanda a série para cada valor de $k$ .

$\frac{5}{8} - \frac{1}{4} + \frac{5}{8} - \frac{2}{4} + \frac{5}{8} - \frac{3}{4} + \frac{5}{8} - \frac{4}{4}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 + 5 + 5 + 5}{8} + \frac{- 1 - 2 - 3 - 4}{4}$

Etapa 3.2.2

Some $5$ e $5$ .

$\frac{10 + 5 + 5}{8} + \frac{- 1 - 2 - 3 - 4}{4}$

Etapa 3.2.3

Some $10$ e $5$ .

$\frac{15 + 5}{8} + \frac{- 1 - 2 - 3 - 4}{4}$

Etapa 3.2.4

Some $15$ e $5$ .

$\frac{20}{8} + \frac{- 1 - 2 - 3 - 4}{4}$

Etapa 3.2.5

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$\frac{20}{8} + \frac{- 3 - 3 - 4}{4}$

Etapa 3.2.6

Subtraia $3$ de $- 3$ .

$\frac{20}{8} + \frac{- 6 - 4}{4}$

Etapa 3.2.7

Subtraia $4$ de $- 6$ .

$\frac{20}{8} + \frac{- 10}{4}$

Etapa 3.2.8

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.1

Cancele o fator comum de $20$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.1.1

Fatore $4$ de $20$ .

$\frac{4 (5)}{8} + \frac{- 10}{4}$

Etapa 3.2.8.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.1.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 2} + \frac{- 10}{4}$

Etapa 3.2.8.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 2} + \frac{- 10}{4}$

Etapa 3.2.8.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{2} + \frac{- 10}{4}$

Etapa 3.2.8.2

Cancele o fator comum de $- 10$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.2.1

Fatore $2$ de $- 10$ .

$\frac{5}{2} + \frac{2 (- 5)}{4}$

Etapa 3.2.8.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{5}{2} + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.2.8.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{2} + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.2.8.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{2} + \frac{- 5}{2}$

Etapa 3.2.8.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{5}{2} - \frac{5}{2}$

Etapa 3.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 - 5}{2}$

Etapa 3.2.10

Subtraia $5$ de $5$ .

$\frac{0}{2}$

Etapa 3.2.11

Divida $0$ por $2$ .

$0$

Etapa 4

Substitua as somas pelos valores encontrados.

$- \frac{117}{8} - 0$

Etapa 5

Subtraia $0$ de $- \frac{117}{8}$ .

$- \frac{117}{8}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{117}{8}$

Forma decimal:

$- 14.625$

Forma de número misto:

$- 14 \frac{5}{8}$