Cálculo Exemplos

$\sum_{n = 1}^{4} \frac{5 n}{n + 3}$

Etapa 1

Expanda a série para cada valor de $n$ .

$\frac{5 \cdot 1}{1 + 3} + \frac{5 \cdot 2}{2 + 3} + \frac{5 \cdot 3}{3 + 3} + \frac{5 \cdot 4}{4 + 3}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{5}{1 + 3} + \frac{5 \cdot 2}{2 + 3} + \frac{5 \cdot 3}{3 + 3} + \frac{5 \cdot 4}{4 + 3}$

Etapa 2.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{5}{1 + 3} + \frac{10}{2 + 3} + \frac{5 \cdot 3}{3 + 3} + \frac{5 \cdot 4}{4 + 3}$

Etapa 2.3

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{5}{1 + 3} + \frac{10}{2 + 3} + \frac{15}{3 + 3} + \frac{5 \cdot 4}{4 + 3}$

Etapa 2.4

Multiplique $5$ por $4$ .

$\frac{5}{1 + 3} + \frac{10}{2 + 3} + \frac{15}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Etapa 2.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.1

Some $1$ e $3$ .

$\frac{5}{4} + \frac{10}{2 + 3} + \frac{15}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Etapa 2.5.2

Some $2$ e $3$ .

$\frac{5}{4} + \frac{10}{5} + \frac{15}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Etapa 2.5.3

Divida $10$ por $5$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{15}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Etapa 2.5.4

Cancele o fator comum de $15$ e $3 + 3$ .

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Etapa 2.5.4.1

Fatore $3$ de $15$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Etapa 2.5.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.5.4.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 (1) + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Etapa 2.5.4.2.2

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1} + \frac{20}{4 + 3}$

Etapa 2.5.4.2.3

Fatore $3$ de $3 \cdot 1 + 3 \cdot 1$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot (1 + 1)} + \frac{20}{4 + 3}$

Etapa 2.5.4.2.4

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot (1 + 1)} + \frac{20}{4 + 3}$

Etapa 2.5.4.2.5

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{5}{1 + 1} + \frac{20}{4 + 3}$

Etapa 2.5.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{5}{2} + \frac{20}{4 + 3}$

Etapa 2.5.6

Some $4$ e $3$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Etapa 2.6

Encontre o denominador comum.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $\frac{5}{4}$ por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{7}{7} + 2 + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Etapa 2.6.2

Multiplique $\frac{5}{4}$ por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + 2 + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Etapa 2.6.3

Escreva $2$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2}{1} + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Etapa 2.6.4

Multiplique $\frac{2}{1}$ por $\frac{28}{28}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2}{1} \cdot \frac{28}{28} + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Etapa 2.6.5

Multiplique $\frac{2}{1}$ por $\frac{28}{28}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Etapa 2.6.6

Multiplique $\frac{5}{2}$ por $\frac{14}{14}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5}{2} \cdot \frac{14}{14} + \frac{20}{7}$

Etapa 2.6.7

Multiplique $\frac{5}{2}$ por $\frac{14}{14}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{2 \cdot 14} + \frac{20}{7}$

Etapa 2.6.8

Multiplique $\frac{20}{7}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{2 \cdot 14} + \frac{20}{7} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 2.6.9

Multiplique $\frac{20}{7}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{2 \cdot 14} + \frac{20 \cdot 4}{7 \cdot 4}$

Etapa 2.6.10

Multiplique $4$ por $7$ .

$\frac{5 \cdot 7}{28} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{2 \cdot 14} + \frac{20 \cdot 4}{7 \cdot 4}$

Etapa 2.6.11

Multiplique $2$ por $14$ .

$\frac{5 \cdot 7}{28} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{28} + \frac{20 \cdot 4}{7 \cdot 4}$

Etapa 2.6.12

Reordene os fatores de $7 \cdot 4$ .

$\frac{5 \cdot 7}{28} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{28} + \frac{20 \cdot 4}{4 \cdot 7}$

Etapa 2.6.13

Multiplique $4$ por $7$ .

$\frac{5 \cdot 7}{28} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{28} + \frac{20 \cdot 4}{28}$

Etapa 2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 \cdot 7 + 2 \cdot 28 + 5 \cdot 14 + 20 \cdot 4}{28}$

Etapa 2.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.8.1

Multiplique $5$ por $7$ .

$\frac{35 + 2 \cdot 28 + 5 \cdot 14 + 20 \cdot 4}{28}$

Etapa 2.8.2

Multiplique $2$ por $28$ .

$\frac{35 + 56 + 5 \cdot 14 + 20 \cdot 4}{28}$

Etapa 2.8.3

Multiplique $5$ por $14$ .

$\frac{35 + 56 + 70 + 20 \cdot 4}{28}$

Etapa 2.8.4

Multiplique $20$ por $4$ .

$\frac{35 + 56 + 70 + 80}{28}$

Etapa 2.9

Some $35$ e $56$ .

$\frac{91 + 70 + 80}{28}$

Etapa 2.10

Some $91$ e $70$ .

$\frac{161 + 80}{28}$

Etapa 2.11

Some $161$ e $80$ .

$\frac{241}{28}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{241}{28}$

Forma decimal:

$8.60714285 \dots$

Forma de número misto:

$8 \frac{17}{28}$