Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + x + 3}$

Etapa 1

Encontre o domínio para determinar se a expressão é contínua.

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Etapa 1.1

Defina o denominador em $\frac{x}{x^{2} + x + 3}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} + x + 3 = 0$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 1.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 1$ e $c = 3$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3

Simplifique.

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Etapa 1.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Etapa 1.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.1.3

Subtraia $12$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.1.4

Reescreva $- 11$ como $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (11)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2}$

Etapa 1.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 1.2.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Etapa 1.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.1.3

Subtraia $12$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.1.4

Reescreva $- 11$ como $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (11)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2}$

Etapa 1.2.4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{11}}{2}$

Etapa 1.2.4.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{11}}{2}$

Etapa 1.2.4.5

Fatore $- 1$ de $i \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{11})}{2}$

Etapa 1.2.4.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (- i \sqrt{11})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{11})}{2}$

Etapa 1.2.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{11}}{2}$

Etapa 1.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 1.2.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Etapa 1.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.1.3

Subtraia $12$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.1.4

Reescreva $- 11$ como $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (11)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2}$

Etapa 1.2.5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{11}}{2}$

Etapa 1.2.5.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{11}}{2}$

Etapa 1.2.5.5

Fatore $- 1$ de $- i \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{11})}{2}$

Etapa 1.2.5.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (i \sqrt{11})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{11})}{2}$

Etapa 1.2.5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{11}}{2}$

Etapa 1.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{11}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{11}}{2}$

Etapa 1.3

O domínio consiste em números reais apenas.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2

Como o domínio consiste em números reais apenas, $\frac{x}{x^{2} + x + 3}$ é contínuo em relação a todos os números reais.

Contínuo

Etapa 3