Cálculo Exemplos

$\sin (\frac{t}{\sqrt{t + 6}})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t + 6}$ como ${(t + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\sin (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = \frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = {(t + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(t + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4

Multiplique os expoentes em ${({(t + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum.

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.2.2

Reescreva a expressão.

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 6)}^{1}}$

Etapa 5

Simplifique.

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 6}$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 6.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 6}$

Etapa 6.2

Multiplique ${(t + 6)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 6}$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = t + 6$ .

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Etapa 7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $t + 6$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t + 6])}{t + 6}$

Etapa 7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 6])}{t + 6}$

Etapa 7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $t + 6$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 6)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 6])}{t + 6}$

Etapa 8

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 6)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 6])}{t + 6}$

Etapa 9

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 6])}{t + 6}$

Etapa 10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 6])}{t + 6}$

Etapa 11

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 6)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 6])}{t + 6}$

Etapa 11.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 6)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 6])}{t + 6}$

Etapa 12

Combine frações.

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Etapa 12.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 6)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 6])}{t + 6}$

Etapa 12.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(t + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{{(t + 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t + 6])}{t + 6}$

Etapa 12.3

Mova ${(t + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2 {(t + 6)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 6])}{t + 6}$

Etapa 12.4

Combine $\frac{1}{2 {(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ e $t$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 6)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 6]}{t + 6}$

Etapa 13

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t + 6$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [6]$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 6)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [6])}{t + 6}$

Etapa 14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 6)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d t} [6])}{t + 6}$

Etapa 15

Como $6$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $6$ em relação a $t$ é $0$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 6)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{t + 6}$

Etapa 16

Simplifique a expressão.

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Etapa 16.1

Some $1$ e $0$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{t + 6}$

Etapa 16.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 6}$

Etapa 17

Para escrever ${(t + 6)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 6)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 6}$

Etapa 18

Combine ${(t + 6)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 6)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(t + 6)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 6}$

Etapa 19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 6)}^{\frac{1}{2}}) - t}{2 {(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 6}$

Etapa 20

Multiplique ${(t + 6)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(t + 6)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 20.1

Mova ${(t + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}} {(t + 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 6}$

Etapa 20.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 6}$

Etapa 20.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 6)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 6}$

Etapa 20.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 6)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 6}$

Etapa 20.5

Divida $2$ por $2$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 6)}^{1} \cdot 2 - t}{2 {(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 6}$

Etapa 21

Simplifique ${(t + 6)}^{1} \cdot 2$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{(t + 6) \cdot 2 - t}{2 {(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 6}$

Etapa 22

Mova $2$ para a esquerda de $t + 6$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{2 \cdot (t + 6) - t}{2 {(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 6}$

Etapa 23

Reescreva $\frac{\frac{2 (t + 6) - t}{2 {(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 6}$ como um produto.

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) (\frac{2 (t + 6) - t}{2 {(t + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{t + 6})$

Etapa 24

Multiplique $\frac{2 (t + 6) - t}{2 {(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{t + 6}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 6) - t}{2 {(t + 6)}^{\frac{1}{2}} (t + 6)}$

Etapa 25

Eleve $t + 6$ à potência de $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 6) - t}{2 ({(t + 6)}^{1} {(t + 6)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 26

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 6) - t}{2 {(t + 6)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Etapa 27

Simplifique a expressão.

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Etapa 27.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 6) - t}{2 {(t + 6)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Etapa 27.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 6) - t}{2 {(t + 6)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Etapa 27.3

Some $2$ e $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 6) - t}{2 {(t + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 28

Combine $\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}})$ e $\frac{2 (t + 6) - t}{2 {(t + 6)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) (2 (t + 6) - t)}{2 {(t + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 29

Simplifique.

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Etapa 29.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) (2 t + 2 \cdot 6 - t)}{2 {(t + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 29.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 29.2.1

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) (2 t + 12 - t)}{2 {(t + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 29.2.2

Subtraia $t$ de $2 t$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 12)}{2 {(t + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 29.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) t + \cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 12}{2 {(t + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 29.2.4

Mova $12$ para a esquerda de $\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) t + 12 \cdot \cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 29.2.5

Reordene os fatores em $\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) t + 12 \cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{t \cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) + 12 \cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 29.3

Fatore $\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}})$ de $t \cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) + 12 \cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}})$ .

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Etapa 29.3.1

Fatore $\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}})$ de $t \cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) t + 12 \cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 29.3.2

Fatore $\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}})$ de $12 \cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) t + \cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 12}{2 {(t + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 29.3.3

Fatore $\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}})$ de $\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) t + \cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 12$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 6)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 12)}{2 {(t + 6)}^{\frac{3}{2}}}$