Cálculo Exemplos

$(45 + e^{t}) \ln (t)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = 45 + e^{t}$ e $g (t) = \ln (t)$ .

$(45 + e^{t}) \frac{d}{d t} [\ln (t)] + \ln (t) \frac{d}{d t} [45 + e^{t}]$

Etapa 2

A derivada de $\ln (t)$ em relação a $t$ é $\frac{1}{t}$ .

$(45 + e^{t}) \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [45 + e^{t}]$

Etapa 3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $45 + e^{t}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [45] + \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$(45 + e^{t}) \frac{1}{t} + \ln (t) (\frac{d}{d t} [45] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Etapa 3.2

Como $45$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $45$ em relação a $t$ é $0$ .

$(45 + e^{t}) \frac{1}{t} + \ln (t) (0 + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$(45 + e^{t}) \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ é $a^{t} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$(45 + e^{t}) \frac{1}{t} + \ln (t) e^{t}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$45 \frac{1}{t} + e^{t} \frac{1}{t} + \ln (t) e^{t}$

Etapa 5.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Combine $45$ e $\frac{1}{t}$ .

$\frac{45}{t} + e^{t} \frac{1}{t} + \ln (t) e^{t}$

Etapa 5.2.2

Combine $e^{t}$ e $\frac{1}{t}$ .

$\frac{45}{t} + \frac{e^{t}}{t} + \ln (t) e^{t}$

Etapa 5.3

Reordene os termos.

$e^{t} \ln (t) + \frac{45}{t} + \frac{e^{t}}{t}$