Cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 1) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.5

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4 + 0) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.7

Some $2 x - 4$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.10

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.11

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.11.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.11.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - 2 (x^{2} - 4 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) + (- 2 x^{2} - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.3.1.1

Expanda $(x^{2} + 1) (2 x - 4)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x - 4) + 1 (2 x - 4) - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x - 4) - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.3.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3.1.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.3.3.1.2.2.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3.1.2.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.3.1.2.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3.1.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3.1.2.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3.1.2.3

Mova $- 4$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 \cdot x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3.1.2.4

Multiplique $2 x$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3.1.2.5

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.3.1.3.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 2.1.3.3.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{1 + 2} - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.3.3.1.4.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} - 2 (- 4 (x \cdot x)) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3.1.5

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3.1.6

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3.2

Combine os termos opostos em $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.3.2.1

Subtraia $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x - 4 + 0 + 8 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3.2.2

Some $- 4 x^{2} + 2 x - 4$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x - 4 + 8 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3.2.3

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} - 4 + 8 x^{2} + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3.2.4

Some $- 4 x^{2} - 4 + 8 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} - 4 + 8 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3.3

Some $- 4 x^{2}$ e $8 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.3.4.1

Fatore $4$ de $4 x^{2} - 4$ .

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Etapa 2.1.3.4.1.1

Fatore $4$ de $4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2}) - 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.4.1.2

Fatore $4$ de $- 4$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2}) + 4 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.4.1.3

Fatore $4$ de $4 (x^{2}) + 4 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.4.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} - 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.4.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$f' (x) = \frac{4 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{(x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.2.2

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}})$

Etapa 2.2.3

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}})$

Etapa 2.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 2.2.5

Diferencie.

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Etapa 2.2.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 2.2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 2.2.5.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 2.2.5.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 2.2.5.4.2

Multiplique $x + 1$ por $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 2.2.5.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 2.2.5.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 2.2.5.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + 0)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 2.2.5.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.8.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) \cdot 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 2.2.5.8.2

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + x - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 2.2.5.8.3

Some $x$ e $x$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 1 - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 2.2.5.8.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.8.4.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 0) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 2.2.5.8.4.2

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 2.2.5.8.4.3

Mova $2$ para a esquerda de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 \cdot ({(x^{2} + 1)}^{2} x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 2.2.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 2.2.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 2.2.7

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.7.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 2.2.7.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 2.2.7.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 2.2.7.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 2.2.7.5

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.7.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 2.2.7.5.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.7.5.2.1

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 2.2.7.5.2.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Etapa 2.2.7.5.3

Combine $4$ e $\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.4.1.1

Reescreva ${(x^{2} + 1)}^{2}$ como $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.2

Expanda $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.4.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.4.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.4.1.3.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.4.1.3.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.3.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.3.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.3.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.3.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.3.2

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 ((2 x^{4} + 2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.4.1.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((2 x^{4} + 4 x^{2} + 2 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((2 x^{4} + 4 x^{2} + 2) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{4} x + 4 x^{2} x + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.4.1.7.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.4.1.7.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x \cdot x^{4}) + 4 x^{2} x + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.7.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.4.1.7.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x \cdot x^{4}) + 4 x^{2} x + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.7.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{1 + 4} + 4 x^{2} x + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.7.1.3

Some $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5} + 4 x^{2} x + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.7.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.4.1.7.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.7.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.4.1.7.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.7.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5} + 4 x^{1 + 2} + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.7.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5} + 4 x^{3} + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5}) + 4 (4 x^{3}) + 4 (2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.4.1.9.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 4 (4 x^{3}) + 4 (2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.9.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 4 (2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.9.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.10

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x - 4) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.11

Expanda $(- 4 x - 4) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.4.1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x (x - 1) - 4 (x - 1)) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 4 (x - 1)) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.12

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.4.1.12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.4.1.12.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.4.1.12.1.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.12.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.12.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4 x - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.12.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4 x - 4 x + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.12.2

Subtraia $4 x$ de $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 0 + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.12.3

Some $- 4 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.13

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.4.1.13.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.4.1.13.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.4.1.13.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.13.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2 + 1} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.13.1.2

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.13.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.14

Expanda $(- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.4.1.14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{2} (x^{3} + x) + 4 (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.14.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} x + 4 (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.14.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.15

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.4.1.15.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.4.1.15.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.4.1.15.1.1.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 (x^{3} x^{2}) - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.15.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{3 + 2} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.15.1.1.3

Some $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.15.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.4.1.15.1.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.15.1.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.4.1.15.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.15.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} - 4 x^{1 + 2} + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.15.1.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} - 4 x^{3} + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.15.2

Some $- 4 x^{3}$ e $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} + 0 + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.15.3

Some $- 4 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.16

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5}) + 4 (4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.17

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x - 16 x^{5} + 4 (4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.1.18

Multiplique $4$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x - 16 x^{5} + 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.2

Subtraia $16 x^{5}$ de $8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.4.3

Some $8 x$ e $16 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 16 x^{3} + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.5.1

Fatore $8 x$ de $- 8 x^{5} + 16 x^{3} + 24 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.5.1.1

Fatore $8 x$ de $- 8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{4}) + 16 x^{3} + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.5.1.2

Fatore $8 x$ de $16 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{4}) + 8 x (2 x^{2}) + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.5.1.3

Fatore $8 x$ de $24 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{4}) + 8 x (2 x^{2}) + 8 x (3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.5.1.4

Fatore $8 x$ de $8 x (- x^{4}) + 8 x (2 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{4} + 2 x^{2}) + 8 x (3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.5.1.5

Fatore $8 x$ de $8 x (- x^{4} + 2 x^{2}) + 8 x (3)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{4} + 2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.5.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.5.3

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- u^{2} + 2 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.5.4

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.5.4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ e cuja soma é $b = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.5.4.1.1

Fatore $2$ de $2 u$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- u^{2} + 2 (u) + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.5.4.1.2

Reescreva $2$ como $- 1$ mais $3$

$f'' (x) = \frac{8 x (- u^{2} + (- 1 + 3) u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.5.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 x (- u^{2} - 1 u + 3 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.5.4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.5.4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$f'' (x) = \frac{8 x ((- u^{2} - 1 u) + 3 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.5.4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$f'' (x) = \frac{8 x (u (- u - 1) - 3 (- u - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.5.4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- u - 1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x ((- u - 1) (u - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.5.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{2} - 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.6

Cancele o fator comum de $- x^{2} - 1$ e ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.6.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- (x^{2}) - 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.6.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- (x^{2}) - 1 \cdot 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.6.3

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.6.4

Reescreva $- (x^{2} + 1)$ como $- 1 (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- 1 (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.6.5

Fatore $x^{2} + 1$ de $8 x (- 1 (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (8 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8.6.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.6.6.1

Fatore $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (8 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.8.6.6.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (8 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.8.6.6.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{8 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.8.7

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2.8.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$- \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$8 x (x^{2} - 3) = 0$

Etapa 3.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Etapa 3.3.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.3.3

Defina $x^{2} - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Defina $x^{2} - 3$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Etapa 3.3.3.2

Resolva $x^{2} - 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 3$

Etapa 3.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Etapa 3.3.3.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{3}$

Etapa 3.3.3.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{3}$

Etapa 3.3.3.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 3.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $8 x (x^{2} - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $0$ em $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 1}{{(0)}^{2} + 1}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{0 - 4 \cdot 0 + 1}{0^{2} + 1}$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 + 1}{0^{2} + 1}$

Etapa 4.1.2.1.3

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 1}{0^{2} + 1}$

Etapa 4.1.2.1.4

Some $0$ e $1$ .

$f (0) = \frac{1}{0^{2} + 1}$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{1}{0 + 1}$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $0$ e $1$ .

$f (0) = \frac{1}{1}$

Etapa 4.1.2.3

Divida $1$ por $1$ .

$f (0) = 1$

Etapa 4.1.2.4

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ é $(0, 1)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 1)$

Etapa 4.3

Substitua $\sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $\sqrt{3}$ na expressão.

$f (\sqrt{3}) = \frac{{(\sqrt{3})}^{2} - 4 \sqrt{3} + 1}{{(\sqrt{3})}^{2} + 1}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Etapa 4.3.2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Etapa 4.3.2.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}} - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Etapa 4.3.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}} - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Etapa 4.3.2.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3 - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Etapa 4.3.2.1.1.5

Avalie o expoente.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3 - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Etapa 4.3.2.1.2

Some $3$ e $1$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

Etapa 4.3.2.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

Etapa 4.3.2.2.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Etapa 4.3.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Etapa 4.3.2.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{3 + 1}$

Etapa 4.3.2.2.1.5

Avalie o expoente.

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{3 + 1}$

Etapa 4.3.2.2.2

Some $3$ e $1$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{4}$

Etapa 4.3.2.3

Cancele o fator comum de $4 - 4 \sqrt{3}$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Fatore $4$ de $4$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 \cdot 1 - 4 \sqrt{3}}{4}$

Etapa 4.3.2.3.2

Fatore $4$ de $- 4 \sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 \cdot 1 + 4 (- \sqrt{3})}{4}$

Etapa 4.3.2.3.3

Fatore $4$ de $4 (1) + 4 (- \sqrt{3})$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 (1 - \sqrt{3})}{4}$

Etapa 4.3.2.3.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.4.1

Fatore $4$ de $4$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 (1 - \sqrt{3})}{4 (1)}$

Etapa 4.3.2.3.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 (1 - \sqrt{3})}{4 \cdot 1}$

Etapa 4.3.2.3.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1 - \sqrt{3}}{1}$

Etapa 4.3.2.3.4.4

Divida $1 - \sqrt{3}$ por $1$ .

$f (\sqrt{3}) = 1 - \sqrt{3}$

Etapa 4.3.2.4

A resposta final é $1 - \sqrt{3}$ .

$1 - \sqrt{3}$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $\sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ é $(\sqrt{3}, 1 - \sqrt{3})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\sqrt{3}, 1 - \sqrt{3})$

Etapa 4.5

Substitua $- \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Substitua a variável $x$ por $- \sqrt{3}$ na expressão.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{{(- \sqrt{3})}^{2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Etapa 4.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Etapa 4.5.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1 {\sqrt{3}}^{2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Etapa 4.5.2.1.3

Multiplique ${\sqrt{3}}^{2}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Etapa 4.5.2.1.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Etapa 4.5.2.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Etapa 4.5.2.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Etapa 4.5.2.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Etapa 4.5.2.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3 - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Etapa 4.5.2.1.4.5

Avalie o expoente.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3 - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Etapa 4.5.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3 + 4 \sqrt{3} + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Etapa 4.5.2.1.6

Some $3$ e $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Etapa 4.5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Etapa 4.5.2.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{1 {\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Etapa 4.5.2.2.3

Multiplique ${\sqrt{3}}^{2}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Etapa 4.5.2.2.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

Etapa 4.5.2.2.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

Etapa 4.5.2.2.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Etapa 4.5.2.2.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Etapa 4.5.2.2.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{3 + 1}$

Etapa 4.5.2.2.4.5

Avalie o expoente.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{3 + 1}$

Etapa 4.5.2.2.5

Some $3$ e $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{4}$

Etapa 4.5.2.3

Cancele o fator comum de $4 + 4 \sqrt{3}$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.3.1

Fatore $4$ de $4$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 \cdot 1 + 4 \sqrt{3}}{4}$

Etapa 4.5.2.3.2

Fatore $4$ de $4 \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 \cdot 1 + 4 (\sqrt{3})}{4}$

Etapa 4.5.2.3.3

Fatore $4$ de $4 (1) + 4 (\sqrt{3})$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 (1 + \sqrt{3})}{4}$

Etapa 4.5.2.3.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.3.4.1

Fatore $4$ de $4$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 (1 + \sqrt{3})}{4 (1)}$

Etapa 4.5.2.3.4.2

Cancele o fator comum.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 (1 + \sqrt{3})}{4 \cdot 1}$

Etapa 4.5.2.3.4.3

Reescreva a expressão.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1 + \sqrt{3}}{1}$

Etapa 4.5.2.3.4.4

Divida $1 + \sqrt{3}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = 1 + \sqrt{3}$

Etapa 4.5.2.4

A resposta final é $1 + \sqrt{3}$ .

$1 + \sqrt{3}$

Etapa 4.6

O ponto encontrado ao substituir $- \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ é $(- \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$

Etapa 4.7

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, 1), (\sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}), (- \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \sqrt{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.8320508$ na expressão.

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{8 (- 1.8320508) ({(- 1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Multiplique $8$ por $- 1.8320508$ .

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{- 14.65640646 ({(- 1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 14.65640646$ por ${(- 1.8320508)}^{2} - 3$ .

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{- 5.22369219}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Eleve $- 1.8320508$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{- 5.22369219}{{(3.35641016 + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $3.35641016$ e $1$ .

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{- 5.22369219}{{4.35641016}^{3}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $4.35641016$ à potência de $3$ .

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{- 5.22369219}{82.67730033}$

Etapa 6.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Divida $- 5.22369219$ por $82.67730033$ .

$f'' (- 1.8320508) = 0.06318169$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 0.06318169$ .

$f'' (- 1.8320508) = 0.06318169$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $0.06318169$ .

$0.06318169$

Etapa 6.3

Em $- 1.8320508$ , a segunda derivada é $0.06318169$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - \sqrt{3})$ .

Acréscimo em $(- \infty, - \sqrt{3})$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- \sqrt{3}, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.8660254$ na expressão.

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{8 (- 0.8660254) ({(- 0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Multiplique $8$ por $- 0.8660254$ .

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{- 6.92820323 ({(- 0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 6.92820323$ por ${(- 0.8660254)}^{2} - 3$ .

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{15.58845726}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Eleve $- 0.8660254$ à potência de $2$ .

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{15.58845726}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

Etapa 7.2.2.2

Some $0.75$ e $1$ .

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{15.58845726}{{1.75}^{3}}$

Etapa 7.2.2.3

Eleve $1.75$ à potência de $3$ .

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{15.58845726}{5.359375}$

Etapa 7.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Divida $15.58845726$ por $5.359375$ .

$f'' (- 0.8660254) = - 1 \cdot 2.90863342$

Etapa 7.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $2.90863342$ .

$f'' (- 0.8660254) = - 2.90863342$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $- 2.90863342$ .

$- 2.90863342$

Etapa 7.3

Em $- 0.8660254$ , a segunda derivada é $- 2.90863342$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \sqrt{3}, 0)$ .

Decréscimo em $(- \sqrt{3}, 0)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, \sqrt{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $0.8660254$ na expressão.

$f'' (0.8660254) = - \frac{8 (0.8660254) ({(0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Multiplique $8$ por $0.8660254$ .

$f'' (0.8660254) = - \frac{6.92820323 ({0.8660254}^{2} - 3)}{{({0.8660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $6.92820323$ por ${0.8660254}^{2} - 3$ .

$f'' (0.8660254) = - \frac{- 15.58845726}{{({0.8660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Eleve $0.8660254$ à potência de $2$ .

$f'' (0.8660254) = - \frac{- 15.58845726}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

Etapa 8.2.2.2

Some $0.75$ e $1$ .

$f'' (0.8660254) = - \frac{- 15.58845726}{{1.75}^{3}}$

Etapa 8.2.2.3

Eleve $1.75$ à potência de $3$ .

$f'' (0.8660254) = - \frac{- 15.58845726}{5.359375}$

Etapa 8.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1

Divida $- 15.58845726$ por $5.359375$ .

$f'' (0.8660254) = 2.90863342$

Etapa 8.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 2.90863342$ .

$f'' (0.8660254) = 2.90863342$

Etapa 8.2.4

A resposta final é $2.90863342$ .

$2.90863342$

Etapa 8.3

Em $0.8660254$ , a segunda derivada é $2.90863342$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(0, \sqrt{3})$ .

Acréscimo em $(0, \sqrt{3})$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(\sqrt{3}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $1.8320508$ na expressão.

$f'' (1.8320508) = - \frac{8 (1.8320508) ({(1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Multiplique $8$ por $1.8320508$ .

$f'' (1.8320508) = - \frac{14.65640646 ({1.8320508}^{2} - 3)}{{({1.8320508}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2.1.2

Multiplique $14.65640646$ por ${1.8320508}^{2} - 3$ .

$f'' (1.8320508) = - \frac{5.22369219}{{({1.8320508}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Eleve $1.8320508$ à potência de $2$ .

$f'' (1.8320508) = - \frac{5.22369219}{{(3.35641016 + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2.2.2

Some $3.35641016$ e $1$ .

$f'' (1.8320508) = - \frac{5.22369219}{{4.35641016}^{3}}$

Etapa 9.2.2.3

Eleve $4.35641016$ à potência de $3$ .

$f'' (1.8320508) = - \frac{5.22369219}{82.67730033}$

Etapa 9.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.1

Divida $5.22369219$ por $82.67730033$ .

$f'' (1.8320508) = - 1 \cdot 0.06318169$

Etapa 9.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $0.06318169$ .

$f'' (1.8320508) = - 0.06318169$

Etapa 9.2.4

A resposta final é $- 0.06318169$ .

$- 0.06318169$

Etapa 9.3

Em $1.8320508$ , a segunda derivada é $- 0.06318169$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(\sqrt{3}, \infty)$ .

Decréscimo em $(\sqrt{3}, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 10

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}), (0, 1), (\sqrt{3}, 1 - \sqrt{3})$ .

$(- \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}), (0, 1), (\sqrt{3}, 1 - \sqrt{3})$

Etapa 11