Cálculo Exemplos

$x e^{- \frac{x^{2}}{162}}$

Etapa 1

Escreva $x e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ como uma função.

$f (x) = x e^{- \frac{x^{2}}{162}}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{162}}] + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x^{2}}{162}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{162}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{162}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{162}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- \frac{1}{162}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x^{2}}{162}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{1}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Combine $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ e $\frac{1}{162}$ .

$x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2.2

Combine $x$ e $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.4

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} x + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.4.2

Combine $- 2$ e $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162}$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} x + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.4.3

Combine $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162}$ e $x$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{162}}) x}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.7

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.7.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $162$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.7.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.1

Fatore $2$ de $162$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{2 (81)} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{2 \cdot 81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.7.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot 1$

Etapa 2.9

Multiplique $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ por $1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81}] + \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{162}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $- \frac{1}{81}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{81} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}}) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x^{2}}{162}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{162})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Etapa 3.2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{162})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Etapa 3.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{162})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Etapa 3.2.4

Como $- \frac{1}{162}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x^{2}}{162}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{1}{162} \cdot \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Etapa 3.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{1}{162} \cdot (2 x))) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Etapa 3.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{1}{162} \cdot (2 x))) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Etapa 3.2.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- 2 (\frac{1}{162}) \cdot x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Etapa 3.2.8

Combine $- 2$ e $\frac{1}{162}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{- 2}{162} x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Etapa 3.2.9

Combine $\frac{- 2}{162}$ e $x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{- 2 x}{162})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Etapa 3.2.10

Cancele o fator comum de $- 2$ e $162$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.10.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{2 (- x)}{162})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Etapa 3.2.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.10.2.1

Fatore $2$ de $162$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{2 (- x)}{2 (81)})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Etapa 3.2.10.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{2 (- x)}{2 \cdot 81})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Etapa 3.2.10.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{- x}{81})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Etapa 3.2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x}{81})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Etapa 3.2.12

Combine $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ e $\frac{x}{81}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Etapa 3.2.13

Combine $x^{2}$ e $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} x)}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Etapa 3.2.14

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.14.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x \cdot x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Etapa 3.2.14.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.14.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x \cdot x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Etapa 3.2.14.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{1 + 2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Etapa 3.2.14.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{162}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x^{2}}{162}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{162})$

Etapa 3.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{162})$

Etapa 3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{162})$

Etapa 3.3.2

Como $- \frac{1}{162}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x^{2}}{162}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{1}{162} \cdot \frac{d}{d x} x^{2})$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{1}{162} \cdot (2 x))$

Etapa 3.3.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- 2 (\frac{1}{162}) \cdot x)$

Etapa 3.3.5

Combine $- 2$ e $\frac{1}{162}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{- 2}{162} x)$

Etapa 3.3.6

Combine $\frac{- 2}{162}$ e $x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{- 2 x}{162})$

Etapa 3.3.7

Cancele o fator comum de $- 2$ e $162$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.7.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{2 (- x)}{162})$

Etapa 3.3.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.7.2.1

Fatore $2$ de $162$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{2 (- x)}{2 (81)})$

Etapa 3.3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{2 (- x)}{2 \cdot 81})$

Etapa 3.3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{- x}{81})$

Etapa 3.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x}{81})$

Etapa 3.3.9

Combine $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ e $\frac{x}{81}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Etapa 3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81}) - \frac{1}{81} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Etapa 3.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{1}{81}) \cdot \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} - \frac{1}{81} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Etapa 3.4.2.2

Multiplique $\frac{1}{81}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{81} \cdot \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} - \frac{1}{81} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Etapa 3.4.2.3

Multiplique $\frac{1}{81}$ por $\frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81 \cdot 81} - \frac{1}{81} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Etapa 3.4.2.4

Multiplique $81$ por $81$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} - \frac{1}{81} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Etapa 3.4.2.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} - 2 (\frac{1}{81}) \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Etapa 3.4.2.6

Combine $- 2$ e $\frac{1}{81}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{- 2}{81} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Etapa 3.4.2.7

Combine $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ e $\frac{- 2}{81}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot - 2}{81} \cdot x - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Etapa 3.4.2.8

Combine $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot - 2}{81}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot (- 2 x)}{81} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Etapa 3.4.2.9

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{- 2 \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{162}} x)}{81} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Etapa 3.4.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} - \frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Etapa 3.4.2.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{162}} x - e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Etapa 3.4.2.12

Subtraia $e^{- \frac{x^{2}}{162}} x$ de $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{162}} x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{- 3 e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Etapa 3.4.2.13

Cancele o fator comum de $- 3$ e $81$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.13.1

Fatore $3$ de $- 3 e^{- \frac{x^{2}}{162}} x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{3 (- e^{- \frac{x^{2}}{162}} x)}{81}$

Etapa 3.4.2.13.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.13.2.1

Fatore $3$ de $81$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{3 (- e^{- \frac{x^{2}}{162}} x)}{3 (27)}$

Etapa 3.4.2.13.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{3 (- e^{- \frac{x^{2}}{162}} x)}{3 \cdot 27}$

Etapa 3.4.2.13.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{- e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{27}$

Etapa 3.4.2.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{27}$

Etapa 3.4.3

Reordene os fatores em $\frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{27}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} - \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{27}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{162}}] + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x^{2}}{162}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{162}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{162}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{162}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Como $- \frac{1}{162}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x^{2}}{162}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{1}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.2.1

Combine $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ e $\frac{1}{162}$ .

$x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3.2.2

Combine $x$ e $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3.4

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} x + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3.4.2

Combine $- 2$ e $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162}$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} x + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3.4.3

Combine $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162}$ e $x$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{162}}) x}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.7

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.7.1

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.7.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $162$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.7.2.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.7.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.7.2.2.1

Fatore $2$ de $162$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{2 (81)} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{2 \cdot 81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.7.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot 1$

Etapa 5.1.9

Multiplique $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ por $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

Etapa 6.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Fatore $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ de $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Fatore $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ de $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x^{2}}{81}) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique por $1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x^{2}}{81}) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot 1 = 0$

Etapa 6.2.1.3

Fatore $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ de $e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x^{2}}{81}) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot 1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x^{2}}{81} + 1) = 0$

Etapa 6.2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x^{2}}{81} + 1^{2}) = 0$

Etapa 6.2.3

Reescreva $\frac{x^{2}}{81}$ como ${(\frac{x}{9})}^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- {(\frac{x}{9})}^{2} + 1^{2}) = 0$

Etapa 6.2.4

Reordene $- {(\frac{x}{9})}^{2}$ e $1^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (1^{2} - {(\frac{x}{9})}^{2}) = 0$

Etapa 6.2.5

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.5.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \frac{x}{9}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} ((1 + \frac{x}{9}) (1 - \frac{x}{9})) = 0$

Etapa 6.2.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (1 + \frac{x}{9}) (1 - \frac{x}{9}) = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

$1 + \frac{x}{9} = 0$

$1 - \frac{x}{9} = 0$

Etapa 6.4

Defina $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Defina $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ como igual a $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

Etapa 6.4.2

Resolva $e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- \frac{x^{2}}{162}}) = \ln (0)$

Etapa 6.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 6.4.2.3

Não há uma solução para $e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 6.5

Defina $1 + \frac{x}{9}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Defina $1 + \frac{x}{9}$ como igual a $0$ .

$1 + \frac{x}{9} = 0$

Etapa 6.5.2

Resolva $1 + \frac{x}{9} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\frac{x}{9} = - 1$

Etapa 6.5.2.2

Multiplique os dois lados da equação por $9$ .

$9 \frac{x}{9} = 9 \cdot - 1$

Etapa 6.5.2.3

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$9 \frac{x}{9} = 9 \cdot - 1$

Etapa 6.5.2.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 9 \cdot - 1$

Etapa 6.5.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.3.2.1

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$x = - 9$

Etapa 6.6

Defina $1 - \frac{x}{9}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Defina $1 - \frac{x}{9}$ como igual a $0$ .

$1 - \frac{x}{9} = 0$

Etapa 6.6.2

Resolva $1 - \frac{x}{9} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \frac{x}{9} = - 1$

Etapa 6.6.2.2

Multiplique os dois lados da equação por $- 9$ .

$- 9 (- \frac{x}{9}) = - 9 \cdot - 1$

Etapa 6.6.2.3

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.3.1.1

Simplifique $- 9 (- \frac{x}{9})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.3.1.1.1

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.3.1.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x}{9}$ para o numerador.

$- 9 \frac{- x}{9} = - 9 \cdot - 1$

Etapa 6.6.2.3.1.1.1.2

Fatore $9$ de $- 9$ .

$9 (- 1) \frac{- x}{9} = - 9 \cdot - 1$

Etapa 6.6.2.3.1.1.1.3

Cancele o fator comum.

$9 \cdot - 1 \frac{- x}{9} = - 9 \cdot - 1$

Etapa 6.6.2.3.1.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- - x = - 9 \cdot - 1$

Etapa 6.6.2.3.1.1.2

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.3.1.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 x = - 9 \cdot - 1$

Etapa 6.6.2.3.1.1.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = - 9 \cdot - 1$

Etapa 6.6.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.3.2.1

Multiplique $- 9$ por $- 1$ .

$x = 9$

Etapa 6.7

A solução final são todos os valores que tornam $e^{- \frac{x^{2}}{162}} (1 + \frac{x}{9}) (1 - \frac{x}{9}) = 0$ verdadeiro.

$x = - 9, 9$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 9, 9$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = - 9$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{{(- 9)}^{3} e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{6561} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Mova $e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(- 9)}^{3}}{6561 e^{\frac{{(- 9)}^{2}}{162}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Etapa 10.1.2

Eleve $- 9$ à potência de $2$ .

$\frac{{(- 9)}^{3}}{6561 e^{\frac{81}{162}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Etapa 10.1.3

Eleve $- 9$ à potência de $3$ .

$\frac{- 729}{6561 e^{\frac{81}{162}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Etapa 10.1.4

Cancele o fator comum de $81$ e $162$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.4.1

Fatore $81$ de $81$ .

$\frac{- 729}{6561 e^{\frac{81 (1)}{162}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Etapa 10.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.4.2.1

Fatore $81$ de $162$ .

$\frac{- 729}{6561 e^{\frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Etapa 10.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 729}{6561 e^{\frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Etapa 10.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 729}{6561 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Etapa 10.1.5

Fatore $729$ de $- 729$ .

$\frac{729 (- 1)}{6561 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Etapa 10.1.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.6.1

Fatore $729$ de $6561 e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{729 (- 1)}{729 (9 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Etapa 10.1.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{729 \cdot - 1}{729 (9 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Etapa 10.1.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Etapa 10.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Etapa 10.1.8

Mova $e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 9}{27 e^{\frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}$

Etapa 10.1.9

Fatore $9$ de $- 9$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{9 (- 1)}{27 e^{\frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}$

Etapa 10.1.10

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.10.1

Fatore $9$ de $27 e^{\frac{{(- 9)}^{2}}{162}}$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{9 (- 1)}{9 (3 e^{\frac{{(- 9)}^{2}}{162}})}$

Etapa 10.1.10.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{9 \cdot - 1}{9 (3 e^{\frac{{(- 9)}^{2}}{162}})}$

Etapa 10.1.10.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1}{3 e^{\frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}$

Etapa 10.1.11

Eleve $- 9$ à potência de $2$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1}{3 e^{\frac{81}{162}}}$

Etapa 10.1.12

Cancele o fator comum de $81$ e $162$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.12.1

Fatore $81$ de $81$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1}{3 e^{\frac{81 (1)}{162}}}$

Etapa 10.1.12.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.12.2.1

Fatore $81$ de $162$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1}{3 e^{\frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}}$

Etapa 10.1.12.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1}{3 e^{\frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}}$

Etapa 10.1.12.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.1.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - - \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.1.14

Multiplique $- - \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.14.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.1.14.2

Multiplique $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.2

Para escrever $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 10.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9 e^{\frac{1}{2}}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Multiplique $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{3 e^{\frac{1}{2}} \cdot 3}$

Etapa 10.3.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{9 e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1 + 3}{9 e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.5

Some $- 1$ e $3$ .

$\frac{2}{9 e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11

$x = - 9$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 9$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = - 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $- 9$ na expressão.

$f (- 9) = (- 9) \cdot e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Eleve $- 9$ à potência de $2$ .

$f (- 9) = - 9 \cdot e^{- \frac{81}{162}}$

Etapa 12.2.2

Cancele o fator comum de $81$ e $162$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Fatore $81$ de $81$ .

$f (- 9) = - 9 \cdot e^{- \frac{81 (1)}{162}}$

Etapa 12.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.2.1

Fatore $81$ de $162$ .

$f (- 9) = - 9 \cdot e^{- \frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}$

Etapa 12.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- 9) = - 9 \cdot e^{- \frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}$

Etapa 12.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- 9) = - 9 \cdot e^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 12.2.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 9) = - 9 \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.2.4

Combine $- 9$ e $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (- 9) = \frac{- 9}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 9) = - \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.2.6

A resposta final é $- \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = - \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = 9$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{{(9)}^{3} e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{6561} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Mova $e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(9)}^{3}}{6561 e^{\frac{9^{2}}{162}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Etapa 14.1.2

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$\frac{9^{3}}{6561 e^{\frac{81}{162}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Etapa 14.1.3

Eleve $9$ à potência de $3$ .

$\frac{729}{6561 e^{\frac{81}{162}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Etapa 14.1.4

Cancele o fator comum de $81$ e $162$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.4.1

Fatore $81$ de $81$ .

$\frac{729}{6561 e^{\frac{81 (1)}{162}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Etapa 14.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.4.2.1

Fatore $81$ de $162$ .

$\frac{729}{6561 e^{\frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Etapa 14.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{729}{6561 e^{\frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Etapa 14.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{729}{6561 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Etapa 14.1.5

Fatore $729$ de $729$ .

$\frac{729 (1)}{6561 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Etapa 14.1.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.6.1

Fatore $729$ de $6561 e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{729 (1)}{729 (9 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Etapa 14.1.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{729 \cdot 1}{729 (9 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Etapa 14.1.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Etapa 14.1.7

Mova $e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{9}{27 e^{\frac{9^{2}}{162}}}$

Etapa 14.1.8

Fatore $9$ de $9$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{9 (1)}{27 e^{\frac{9^{2}}{162}}}$

Etapa 14.1.9

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.9.1

Fatore $9$ de $27 e^{\frac{9^{2}}{162}}$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{9 (1)}{9 (3 e^{\frac{9^{2}}{162}})}$

Etapa 14.1.9.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{9 \cdot 1}{9 (3 e^{\frac{9^{2}}{162}})}$

Etapa 14.1.9.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3 e^{\frac{9^{2}}{162}}}$

Etapa 14.1.10

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3 e^{\frac{81}{162}}}$

Etapa 14.1.11

Cancele o fator comum de $81$ e $162$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.11.1

Fatore $81$ de $81$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3 e^{\frac{81 (1)}{162}}}$

Etapa 14.1.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.11.2.1

Fatore $81$ de $162$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3 e^{\frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}}$

Etapa 14.1.11.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3 e^{\frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}}$

Etapa 14.1.11.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2

Para escrever $- \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 14.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9 e^{\frac{1}{2}}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Multiplique $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{3 e^{\frac{1}{2}} \cdot 3}$

Etapa 14.3.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{9 e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - 3}{9 e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.5

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{- 2}{9 e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{9 e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 15

$x = 9$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 9$ é um máximo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $9$ na expressão.

$f (9) = (9) \cdot e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$f (9) = 9 \cdot e^{- \frac{81}{162}}$

Etapa 16.2.2

Cancele o fator comum de $81$ e $162$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.2.1

Fatore $81$ de $81$ .

$f (9) = 9 \cdot e^{- \frac{81 (1)}{162}}$

Etapa 16.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.2.2.1

Fatore $81$ de $162$ .

$f (9) = 9 \cdot e^{- \frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}$

Etapa 16.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f (9) = 9 \cdot e^{- \frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}$

Etapa 16.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f (9) = 9 \cdot e^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 16.2.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (9) = 9 \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.2.4

Combine $9$ e $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (9) = \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.2.5

A resposta final é $\frac{9}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = x e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

$(- 9, - \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}})$ é um mínimo local

$(9, \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}})$ é um máximo local

Etapa 18