Cálculo Exemplos

$h (z) = (7 - z^{2}) (z^{3} - z + 5)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ é $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ , em que $f (z) = 7 - z^{2}$ e $g (z) = z^{3} - z + 5$ .

$(7 - z^{2}) \frac{d}{d z} [z^{3} - z + 5] + (z^{3} - z + 5) \frac{d}{d z} [7 - z^{2}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $z^{3} - z + 5$ com relação a $z$ é $\frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z] + \frac{d}{d z} [5]$ .

$(7 - z^{2}) (\frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z] + \frac{d}{d z} [5]) + (z^{3} - z + 5) \frac{d}{d z} [7 - z^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} + \frac{d}{d z} [- z] + \frac{d}{d z} [5]) + (z^{3} - z + 5) \frac{d}{d z} [7 - z^{2}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d z} [- z]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $- z$ em relação a $z$ é $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [5]) + (z^{3} - z + 5) \frac{d}{d z} [7 - z^{2}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [5]) + (z^{3} - z + 5) \frac{d}{d z} [7 - z^{2}]$

Etapa 3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 1 + \frac{d}{d z} [5]) + (z^{3} - z + 5) \frac{d}{d z} [7 - z^{2}]$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $5$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $5$ em relação a $z$ é $0$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 1 + 0) + (z^{3} - z + 5) \frac{d}{d z} [7 - z^{2}]$

Etapa 4.2

Some $3 z^{2} - 1$ e $0$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 1) + (z^{3} - z + 5) \frac{d}{d z} [7 - z^{2}]$

Etapa 4.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 - z^{2}$ com relação a $z$ é $\frac{d}{d z} [7] + \frac{d}{d z} [- z^{2}]$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 1) + (z^{3} - z + 5) (\frac{d}{d z} [7] + \frac{d}{d z} [- z^{2}])$

Etapa 4.4

Como $7$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $7$ em relação a $z$ é $0$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 1) + (z^{3} - z + 5) (0 + \frac{d}{d z} [- z^{2}])$

Etapa 5

Avalie $\frac{d}{d z} [- z^{2}]$ .

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $- z^{2}$ em relação a $z$ é $- \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 1) + (z^{3} - z + 5) (0 - \frac{d}{d z} [z^{2}])$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 1) + (z^{3} - z + 5) (0 - (2 z))$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 1) + (z^{3} - z + 5) (0 - 2 z)$

Etapa 6

Subtraia $2 z$ de $0$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 1) + (z^{3} - z + 5) (- 2 z)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 1) + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(7 - z^{2}) (3 z^{2}) + (7 - z^{2}) \cdot - 1 + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Etapa 7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$7 (3 z^{2}) - z^{2} (3 z^{2}) + (7 - z^{2}) \cdot - 1 + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Etapa 7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$7 (3 z^{2}) - z^{2} (3 z^{2}) + 7 \cdot - 1 - z^{2} \cdot - 1 + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Etapa 7.5

Combine os termos.

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Etapa 7.5.1

Multiplique $3$ por $7$ .

$21 z^{2} - z^{2} (3 z^{2}) + 7 \cdot - 1 - z^{2} \cdot - 1 + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Etapa 7.5.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$21 z^{2} - 3 z^{2} z^{2} + 7 \cdot - 1 - z^{2} \cdot - 1 + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Etapa 7.5.3

Multiplique $z^{2}$ por $z^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.5.3.1

Mova $z^{2}$ .

$21 z^{2} - 3 (z^{2} z^{2}) + 7 \cdot - 1 - z^{2} \cdot - 1 + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Etapa 7.5.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$21 z^{2} - 3 z^{2 + 2} + 7 \cdot - 1 - z^{2} \cdot - 1 + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Etapa 7.5.3.3

Some $2$ e $2$ .

$21 z^{2} - 3 z^{4} + 7 \cdot - 1 - z^{2} \cdot - 1 + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Etapa 7.5.4

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$21 z^{2} - 3 z^{4} - 7 - z^{2} \cdot - 1 + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Etapa 7.5.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$21 z^{2} - 3 z^{4} - 7 + 1 z^{2} + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Etapa 7.5.6

Multiplique $z^{2}$ por $1$ .

$21 z^{2} - 3 z^{4} - 7 + z^{2} + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Etapa 7.5.7

Some $21 z^{2}$ e $z^{2}$ .

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Etapa 7.5.8

Multiplique $z^{3}$ por $z$ somando os expoentes.

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Etapa 7.5.8.1

Mova $z$ .

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 + z \cdot z^{3} \cdot - 2 - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Etapa 7.5.8.2

Multiplique $z$ por $z^{3}$ .

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Etapa 7.5.8.2.1

Eleve $z$ à potência de $1$ .

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 + z^{1} z^{3} \cdot - 2 - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Etapa 7.5.8.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 + z^{1 + 3} \cdot - 2 - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Etapa 7.5.8.3

Some $1$ e $3$ .

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 + z^{4} \cdot - 2 - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Etapa 7.5.9

Mova $- 2$ para a esquerda de $z^{4}$ .

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 - 2 \cdot z^{4} - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Etapa 7.5.10

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 - 2 z^{4} + 2 z \cdot z + 5 (- 2 z)$

Etapa 7.5.11

Eleve $z$ à potência de $1$ .

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 - 2 z^{4} + 2 (z^{1} z) + 5 (- 2 z)$

Etapa 7.5.12

Eleve $z$ à potência de $1$ .

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 - 2 z^{4} + 2 (z^{1} z^{1}) + 5 (- 2 z)$

Etapa 7.5.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 - 2 z^{4} + 2 z^{1 + 1} + 5 (- 2 z)$

Etapa 7.5.14

Some $1$ e $1$ .

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 - 2 z^{4} + 2 z^{2} + 5 (- 2 z)$

Etapa 7.5.15

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 - 2 z^{4} + 2 z^{2} - 10 z$

Etapa 7.5.16

Subtraia $2 z^{4}$ de $- 3 z^{4}$ .

$22 z^{2} - 5 z^{4} - 7 + 2 z^{2} - 10 z$

Etapa 7.5.17

Some $22 z^{2}$ e $2 z^{2}$ .

$24 z^{2} - 5 z^{4} - 7 - 10 z$

Etapa 7.6

Reordene os termos.

$- 5 z^{4} + 24 z^{2} - 10 z - 7$